1.区间选点问题的贪心解法分析
区间选点问题是贪心算法的经典应用场景，其核心需求是给定n个闭区间，选择最少的点使得每个区间内至少包含一个选点。要高效解决这一问题，合理的贪心策略是关键。该问题的最优贪心策略为：先将所有区间按照右端点从小到大排序，随后依次遍历排序后的区间，若当前区间未被已选点覆盖，则选择该区间的右端点作为新的选点。这一策略的核心逻辑是，选择区间右端点能最大程度覆盖后续相邻区间，从而减少总选点数量。
要证明该算法的有效性，需严格验证其满足贪心选择性质——即全局最优解可通过一系列局部最优选择构成。设排序后第一个区间为I₁=[a₁,b₁]，全局最优解S中覆盖I₁的点为x。由于I₁是按右端点排序的首个区间，x必然≤b₁（否则无法覆盖I₁）。若x=b₁，则贪心选择已融入最优解；若x＜b₁，将S中的x替换为b₁得到新点集S'，因后续区间右端点均≥b₁，b₁可覆盖所有x原本覆盖的区间，故S'仍是最优解且包含贪心选择的点。由此可证，该贪心策略的局部最优选择能导向全局最优。
从时间复杂度来看，算法的主要开销集中在排序和遍历环节。对n个区间按右端点排序的时间复杂度为O(nlogn)（基于比较排序的下界），遍历排序后区间的时间复杂度为O(n)。因此，整个算法的时间复杂度为O(nlogn)，这也是该问题的最优时间复杂度，因为排序是确保策略有效性的必要步骤。
2.对贪心算法的理解
贪心算法是一种基于“局部最优导向全局最优”核心思想的算法设计策略，它在每一步决策中均选择当前状态下的最优解，期望通过连续的局部最优选择最终获得全局最优结果。作为算法设计的三大基础策略之一，贪心算法与动态规划、分治算法存在显著差异，其适用范围具有严格的条件限制，仅当问题同时满足贪心选择性质和最优子结构性质时，才能保证得到最优解。其中，贪心选择性质确保局部最优选择可构成全局最优解，最优子结构性质则意味着问题的最优解包含其子问题的最优解，这也是贪心算法与动态规划的共性条件。
贪心算法的核心特点体现在效率与局限性的对立统一上。其优势在于高效性与低空间复杂度：多数贪心算法的时间复杂度为O(n)或O(nlogn)，且无需存储子问题的解，相比动态规划更节省存储空间，实现逻辑也更为简洁。但其局限性同样突出：适用场景狭窄，仅能解决满足特定性质的问题，对于大量不具备贪心选择性质的问题（如0-1背包问题），贪心策略会导致结果偏离最优；同时，贪心算法不具备回溯性，每一步决策不可逆，一旦做出错误的局部选择，便无法修正，这也进一步限制了其应用范围。
与动态规划相比，贪心算法更侧重“一步到位”的局部最优决策，无后效性且决策不可逆，适用于贪心选择性质与最优子结构兼具的问题，典型案例包括区间选点、哈夫曼编码等；而动态规划则强调自底向上或自顶向下求解，需记录子问题最优解以应对后效性，适用于具备最优子结构和重叠子问题的场景，如0-1背包、最长公共子序列等。在实际应用中，贪心算法常用于区间类问题、编码问题、图论中的最小生成树与单源最短路径问题，以及特定的资源分配问题（如符合贪心性质的钱币找零）。需注意的是，贪心算法的正确性必须严格证明，不可仅凭直觉判断，否则极易因策略不当导致结果失效。
