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动态规划算法3——最长上升子序列

本文作者frankchenfu,blogs网址http://www.cnblogs.com/frankchenfu/,转载请保留此文字。

重新编辑于2020.9.2

今天我们要讲的是最长上升子序列(LIS)

 

【题目描述】

给定N个数,求这N个数的最长上升子序列的长度

【样例输入】

7

2 5 3 4 1 7 6

【样例输出】

4

 

什么是最长上升子序列? 就是给你一个序列,请你在其中求出一段不断严格上升的部分,它不一定要连续。

就像这样:2,3,4,7和2,3,4,6就是序列2 5 3 4 1 7 6的两种选取方案。最长的长度是4.

那么,怎么求出它的最大上升子序列长度为4呢?这里介绍两种方法,都是以动态规划为基础的。

 

首先,我们先介绍较慢 $O(n^2)$ 的方法。我们记 $f_i$为到这个数为止,最长上升子序列的长度。

这种方法就是每一次尝试寻找“可以接下去的”那一个数,换句话说,设原序列为a,则

当$a_j<a_i (j<i)$且$f_j +1>f_i$时,$ f_i=f_j +1$。

对于每一个数,他都是在“可以接下去”的中,从前面的最优值+1转移而来。通俗的来说,你肯定就是在所有能找到的里面取最好的一个,不要白不要嘛。

因此,这个算法是可以求出正确答案的。复杂度很明显,外层i枚举每个数,内层j枚举目前i的最优值,即 $O(n^2)$。

 

那么,有没有更快的方法呢?当然有。这回要用到二分

我们回想一下,在上面 $O(n^2)$ 的程序中,哪些地方看起来比较费时?

没错,就是内层用于更新i的循环。因为每一次他都要查找一遍,效率并不高。

回到题目,我们发现,他只要我们求长度,所以?

我们可以模拟一个单调栈(曾经很多参考书说这是一个栈。实际上不是严格的栈,而是一个后进入的加在末尾,然后每次可以替换掉其中元素的序列。这个序列是单调递增的,保证结果就是所求的LIS)

所以每遇到一个比栈顶元素大的数,就放进栈里,遇到比栈顶元素小的就二分查找前边的元素,找到一个“最应该被换掉的元素”,用新数去更新前边的元素。这个元素可能不是最优解的一部分,但是它可以使得后面还未加入的、比较小的数更有可能进入这个队列。通俗地来说,作为门槛,他本来要大于当前序列的最后一个数才能加进去;就是如果我太大了,我就乖乖呆在末尾;如果前面有一个数比我大,也就是我比你好,既然我在你后面也就是我们两者只能选其一,那我只好把你替换掉了。虽然我这临时临头换的不一定最合适,但是对于后面还有很多的人等着排进来的情况下,我给他们创造了更多机会,使得这个序列的最后一个数有可能变小,让更多的人进来。

这个算法不难证明也是正确的。因为前面每一次的枚举都换成了二分,内层的复杂度从$n$降到了$log_2$,外层不变。所以总的复杂度是O($n log_2n$)。

 

接下来,我先给出朴素算法的代码。

#include<cstdio>
const int MAX=1001;
int a[MAX];
int lis(int x)
{
    int num[MAX];
    for(int i=0;i<x;i++)
    {
        num[i]=1;
        for(int j=0;j<i;j++)
        {
            if(a[j]<a[i]&&num[j]+1>num[i])
                   num[i]=num[j]+1;
        }
    }
    int maxx=0;
    for(int i=0;i<x;i++)
        if(maxx<num[i])
            maxx=num[i];
    return maxx;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    return !printf("%d\n",lis(n));
}

这个则是二分算法的代码:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
const int MAXN=200001;

int a[MAXN];
int d[MAXN];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    d[1]=a[1];
    int len=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]>d[len])
            d[++len]=a[i];
        else
        {
            int j=std::lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
            d[j]=a[i]; 
        }
    }
    printf("%d\n",len);    
    return 0;
}

 

类似的,我们可以通过二分查找中改变“上确界”和“下确界”,以及符号(“<”和“<=”或“>”、“>=”等),求出最长不下降、不上升、严格下降子序列等问题。

希望对大家有帮助。满意请点赞!

posted @ 2017-07-02 21:27  frankchenfu  阅读(61678)  评论(5编辑  收藏  举报

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