图论2——二分图与匈牙利算法
本文作者frankchenfu，blogs网址http://www.cnblogs.com/frankchenfu/，转载请保留此文字。
一般情况下，我们用的都是简单图。带权图，无向图；还有各种算法，像Floyd，SPFA，Dijkstra……
但是，在我们需要进行一些匹配问题的时候，我们就不能够只是用简单图了，不然最终可能会收获TLE（超时）。
这个时候，我们就要让二分图出场了！
1、二分图的应用
我们举一个最简单的例子。有N名男运动员和M名女运动员要组成尽可能的多的混双配对，其中有一些不能够配对，请问如何处理？
这时候，大家就可能比较头疼——没有什么思路。各种数据结构似乎也都无能为力，组合数论看起来可以，实际上也算不出来，更不会有人想到这是图论。
然而这就是一道二分图模板题。
【题目大意】
有N名男运动员和M名女运动员要组成尽可能的多的混双配对，其中有一些不能够配对，请问如何处理？
【输入格式】
第一行 输入三个整数，N,M,K，，表示男运动员的个数，女运动员的个数，以及可匹配对数。
以下K行，每行两个整数a,b，表示男运动员a,b可以配对比赛。
【输出格式】
只有一个整数，为最多的混双配对。
【输入样例】
5 4 14
1 1
1 2
2 3
3 2
4 2
4 3
4 4
5 4
5 2
5 3
3 3
2 4
1 3
2 1
【输出样例】
4
【算法分析】
我们之前已经分析过它是一道图论题，但是怎么建图呢？
如果我们把每一个运动员看做图的顶点V，将每一对可配对的连接，则上面的样例可以表示为下图（无向图）。
那么你会做了吗？
其实上面这张图就是一张二分图。二分图的定义大致如下。
图G=[V,E]是一个无向图，顶点集合V分为X和Y两部分，G中的每一条边一定一个端点在X，一个端点在Y。
所以，二分图也可以记为G=[X,Y,E]。
我们也知道，有一种东西叫做完全二叉树，那么有没有完全二分图呢？
当然有。当X中的任意结点都与Y中的地所有节点连接时，它就是一个完全二分图（因为是无向图，所以亦可为Y中的节点与X中所有节点连接）。
【定理】
当且仅当无向图G的每一个回路长度均为偶数时，该图才是一个二分图。（包括无回路的情况）
题目中的求尽可能多的混双配对，其实也就是求二分图的最大匹配。
2、二分图的最大匹配
要解决二分图的最大匹配问题，我们有几种算法，例如网络流。但是，今天我要讲的，是Edmonds在1965年提出的匈牙利算法（Hungary Algorithm）。
首先，我们来了解一些名词。在这里，我们暂时设M为一张二分图中可能出现的最大匹配方案。
交错轨
设P是二分图中的一条路径，如果该路径任意两条相邻边一条在M内（是最大方案的一部分），另一条不在M内（不是最大方案的一部分），那么它就是一条交错轨。
特别的，如果该路径中只有一条边，那么他一定是一条 交错轨，不论在M内外。
可增广轨
我们再定义一个点“是否有连接着最大匹配方案里的边”为这个点是否被“盖住”。如果交错轨的两个定点都是没有被“盖住”的，那么他就是一个可增广轨。
为什么要寻找可增广轨呢？因为，如果你在寻找最大匹配方案时能够找到一个可增广轨的话，那么最大匹配方案就可以增加到当前方案匹配数+1。
讲了这么多，现在开始讲一讲匈牙利算法。
他其实就是最开始把最大匹配方案M置为空集，然后反复寻找增广路径，知道没有为止，就这么简单。
增广路径的找法，就是DFS或BFS。在针对稠密图时建议DFS，反之则为BFS。
下面，给出DFS的Cpp参考代码。
#include<cstdio> #include<cstring> const int MAX=1001; int n,m,k; int link[MAX]; bool vis[MAX]; bool map[MAX][MAX]; bool dfs(int a) { for(int i=1;i<=m;i++) if(map[a][i]==1&&!vis[i]) { vis[i]=1; if(!link[i]||dfs(link[i])) { link[i]=a; return 1; } } return 0; } int main() { int a,b,ans=0; scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); for(int i=1;i<=k;i++) { scanf("%d%d",&a,&b); map[a][b]=1; } for(int i=1;i<=n;i++) { memset(vis,0,sizeof(vis)); if(dfs(i)) ans++; } printf("%d\n",ans); return 0; }
关于BFS，这里同样给出示范性的Cpp代码。
#include<cstdio> #include<cstring> const int MAX=1001; struct link { int data; link *nxt; link(int=0); }; link::link(int n)//类继承 { data=n; nxt=NULL; } int n,m,k,ans=0; int res[MAX]; bool state[MAX]; link *head[MAX],*lst[MAX]; bool bfs(const int n) { link* t=head[n]; while(t!=NULL) { if(!state[t->data]) { state[t->data]=1; if(!res[t->data]||bfs(res[t->data])) { res[t->data]=n; return 1; } } t=t->nxt; } return 0; } int main() { int a,b; scanf("%d%d%d",&n,&m,&k); for(int i=0;i<k;i++) { scanf("%d%d",&a,&b); if(lst[a]==NULL) lst[a]=head[a]=new link(b); else lst[a]=lst[a]->nxt=new link(b); } for(int i=1;i<=n;i++) { memset(state,0,sizeof(state)); if(bfs(i)) ans++; } printf("%d\n",ans); return 0; }
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