动态规划算法2——最长公共子序列

本文作者frankchenfu，blogs网址http://www.cnblogs.com/frankchenfu/，转载请保留此文字。

今天，我给大家带来的是“最长公共子序列”（LCS）的讲解。限于水平，这里仅介绍O(nm)算法。

最长公共子序列其实是很好理解的。

顾名思义，给出多个（这里暂且只考虑两个）序列，求他们的最长公共子序列，就是在这两个序列中分别删去一些的字符，得到两个相同的序列，使得这两个相同的序列最长。

当然上面是我自己用比较好理解的方法写的，关于某些“百科”上的解释就是“一个序列S，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则S称为已知序列的最长公共子序列。而最长公共子串(要求连续)和最长公共子序列是不同的 ”。

这里要先牵扯到一个“子序列”的问题。子序列就是一个序列中，删去一些字符后剩下部分。例如，“abc”就是“axbyc”的一个子序列，他相应的子序列在原序列的下标就是“1,3,5”。

再比如，

令字串A为“abcdef”，字串B为“defghi”，那么他们的最长公共子序列是什么呢？

显然，是“def”。因为子串“d”、“e”和“f”长度均为1，子串“de”、“ef”和“df”均为2，只有“def”长度为3。

所以，现在，我们给出两个序列，求他们的最长公共子序列。

 

【输入格式】

共两行。每行给出一个长度不超过200的字符串。

【输出格式】

共两行。第一行一个非负整数表示最长公共子序列的长度。第二行输出这个子序列（若有多解，任意输出一个）。

【输入样例】

ABCBDAB

BDCABA

【输出样例】

4

BCBA

【分析】

看到题目，肯定有人会想到搜索。可是搜索并不能解决一切问题。我们看到搜索是指数级的时间复杂度——你给10秒能不能算完是问题！我们需要设计一个略微高效的算法——尝试使用动态规划。但是在此之前，我们先来看一些有效分析，来验证我们的猜想是否正确。

（1）最优子结构性质。

这个性质有一个定理，叫LCS的最优子结构性质。

这个定理告诉我们，两个序列的最长公共子序列包含这两个序列的前缀最长公共子序列，所以这个问题是符合最优子结构性质的。

（2）子问题重叠性质

由最优子结构性质可以推导出该问题具备子问题重叠性质。我们可以依此建立一个计算到目前为止，子序列“最优值”的问题的递归关系。用c[i][j]记录序列X[i]和Y[i]的最长公共子序列的长度，其中当$i=0$或$j=0$时，$c_{i,j}=0$。否则，当$X_i=Y_i$时，$c_{i,j}=c_{i-1,j-1}+1$，当$X_i$≠$Y_i$时，$c_{i,j}=max(c_{i,j-1},c_{i-1,j})$.

这些方法得出的时间复杂度已经满足200的数据了，不过可以再优化，将体现在代码中，大家可以自行思考。Cpp代码如下：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<string>
using namespace std;
inline int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
const int MAX=201;
int c[MAX][MAX];
int n,i,j,l1,l2;
char x[MAX],y[MAX];
string z="";
int main()
{
    scanf("%s%s",x,y);
    l1=strlen(x);l2=strlen(y);
    for(i=1;i<=l1;i++)
        for(j=1;j<=l2;j++)
            if(x[i-1]==y[j-1])
                c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
            else
                c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i][j-1]);
    printf("%d\n",c[l1][l2]);
    //求LCS长度已完成，若无需求内容，可忽略以下。 
    for(i=l1,j=l2;i&&j;)
        if(x[i-1]==y[j-1])
        {
            z=x[--i]+z;
            j--;
        }
        else
            if(c[i-1][j]>c[i][j-1])
                i--;
            else
                j--;
    printf("%s",z.c_str());//返回C风格可用%s的字符串 
    return 0;
}

希望对大家有所帮助，谢谢！