【笔记】Polya定理

本文主要参考 《Introductory combinatorics》（Richard A. Brualdi，Prentice Hall (2009)）。

Burnside定理（Theorem 14.2.3）

令\(G\)是\(X\)上的一个置换群，\(C\)是一个\(X\)的染色的集合，满足对所有\(f\)属于\(G\)，\(c\)属于\(\mathcal C\)，有\(f*c\)属于\(C\)。那么\(N(G,\mathcal C)\)，\(\mathcal C\)中不等价的染色的数目为：

\[N(G,C)=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}|\mathcal C(f)| \]

即所有被\(G\)中的置换\(g\)固定的染色的数目的平均值。

Polya定理（Theorem 14.3.3）

令\(X\)是一个\(n\)个元素的集合，若我们有\(k\)种颜色，令\(C\)为所有\(k^n\)种染色的集合，令\(G\)是\(X\)上的一个置换群，那么

\[N(G,C)=P_G(k,k,\dots,k) \]

其中

\[P_G(z_1,\dots,z_n)=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G}z_1^{e_1}z_2^{e_2}\cdots z_n^{e_n} \]

其中\(e_i\)表示长度为\(i\)的循环的个数。