字符串匹配算法1-KMP

前面介绍过，字符串搜索一般来说有三种方式，前缀搜索，后缀搜索，子串搜索。KMP使用的是前缀搜索。

假设p的偏移是i，也就是窗口的位置是i，匹配到位置j+1时发现了不匹配。现在的问题是向前移动窗口到什么位置呢？注意要保证不漏掉可能的匹配，而且为了效率，应该尽量的多移动窗口。

先假设窗口移动到了位置k，看看有什么后果，这里i<k≤j+1，大于i好理解，至少移动一个字符嘛，为什么小于等于j+1？因为σ和u[0]是否相等是不知道的，为了不错过可能的匹配，窗口最多移动到j+1。现在看看子串v有什么性质。子串v应该等于t[k…j]，否则k这个位置肯定没有匹配，可以继续移动窗口了。而v=t[k…j]意味着v是u的一个边界。应该注意到u可能不止一个边界，为了不遗漏匹配，v应该是最长的边界。

根据这种思想，Morris和Pratt提出：

1. 对于模式串的每个前缀u，预先计算u的最长边界b(u)。
2. 设窗口位置为i，当前文本位置为j，u既是p的前缀，同时也是t[1...j]的后缀的最长字符串。显然u=t[i…j]，新读入的文本字符为σ=t[j+1]，那么按照如下步骤计算新的最长前缀。
   1. 如果σ=p[|u|+1]，那么新的最长前缀是up[|u|+1]，计算结束，窗口位置不变；
   2. 如果u=ε，那么新的最长前缀是ε，计算结束，窗口移动到i+1；

否则，置u←b(u)，窗口移动|u|-|b(u)|，即i←i+|u|-|b(u)|，转到步骤1执行。

1. 计算出新的u后，比较u和p（实际上是比较长度），如果u=p，那么发现了一个匹配。然后继续读入下一个文本字符σ=t[j+2]，继续ii。

Knuth提出了一个改进，事实上，如果σ≠p[|u|+1]，则u的任何边界的后继字符若要与σ=t[i+1]匹配，就一定不能等于p[|u|+1]。基于这个事实，在预处理阶段，对于p的每个真前缀u(p=uw, w≠ε)，可以预先计算其最长边界v，使得p[|u|+1]≠p[|v|+1]（图中α≠β）。这样，如果σ≠p[|u|+1]，那么窗口直接从i移动到i+|u|-|v|，然后再从p的|v|+1位置开始比较（σ与β比较）。

 

那要如何计算p的真前缀u的最长边界v，且p[|u|+1]≠p[|v|+1]？

我们首先假设现在要处理子串u=p[0…i]，找到它满足条件的v，并把它的长度放到数组kmpNext中。注意kmpNext[i]表示p[0…i-1]的满足条件的v的长度。kmpNext[0]=-1；

首先找到u的最长边界。现在设p[0…i-1]的最长边界为v，|v|=j。现在看α=p[i]是否和σ=p[j]相同。如果α=σ，则vα是u的最长边界。如果α≠σ，则vα不是u的边界，要重新找最长边界。

那么找哪个子串呢？看下图：

假设w是这个子串，从图中可知，w是v的边界，设|w|=k。其次，β=p[k]≠σ，因为如果β=σ，那么β≠α，也即是wβ不是u的边界。从上面两点可知，w是v的满足条件的边界。因此如果发现α≠σ，下次就比较β=p[k]和σ。如果相同，那么wβ就是u的最长边界，否则继续取w的满足条件的边界进行上述操作。

 

找到最长边界后（设最长边界为v），比较p[i+1]和p[j+1]。

如果p[i+1]≠p[j+1]，则v满足条件，kmpNext[i+1]=j+1；相同的话，v不满足条件，那么kmpNext[i+1] = kmpNext[j+1]，这个解释一下，由于v是u的最长边界，那么满足条件的边界w也应该是v的边界（边界的性质），而且w应该是v满足条件的边界，这样p[k]≠p[j+1]=p[i+1]，那么w也是u的满足条件的边界，即kmpNext[i+1] = kmpNext[j+1]。

处理完u后，按照上面的算法继续处理up[i+1]，注意到此时vp[j]是u的最长边界。

我们可以注意到，预处理的过程和查询的过程很类似，只不过模式p作为文本，而p的前缀作为模式，也就是说，我们使用KMP算法来对p进行预处理。

 

下面是KMP算法的C语言实现：

#define XSIZE 1024
/*kmpNext中保存p的每个真前缀u的最长边界v的长度，v要满足p[|u|+1]≠p[|v|+1]*/
void preKmp(char *p, int m, int kmpNext[]) 
{
   int i, j;

   i = 0;
   j = kmpNext[0] = -1;
   while (i < m) {
      while (j > -1 && p[i] != p[j])
         j = kmpNext[j];
      i++;
      j++;
      if (p[i] == p[j])
         kmpNext[i] = kmpNext[j];
      else
         kmpNext[i] = j;
   }
}


void KMP(char *p, int m, char *t, int n) 
{
   int i, j, kmpNext[XSIZE];

   /* Preprocessing */
   preKmp(p, m, kmpNext);

   /* Searching */
   i = j = 0;
   while (j < n) {
      while (i > -1 && p[i] != t[j])
         i = kmpNext[i];
      i++;
      j++;
      if (i >= m) {
         printf("Found match in %d\n", j - i);
         i = kmpNext[i];
      }
   }
}