字符串匹配算法0-基本概念

字符串匹配的算法在很多领域都有重要的应用，这就不多说了。

我们考虑一下算法的基本的描述：给定大小为σ字母表Σ上的长度为n的文本t和长度为m的模式p，找出t中所有的p的出现的地方。

一个长度为m的串p表示为一个数组p[0...m-1]，这里m≥0。当然，m=0时，表示空串，用ε表示。p的第i+1个字符用p[i]表示，这里0≤i<m。类似，p[i...j]表示p的子串，第i+1个字符到j+1个字符。0≤i≤j<m。如果i＞j，p[i...j]=ε。p[i...j]=p[max(i,0), min(j,m-1)]。

字符串有个连接操作，就是把两个字符串串成一个大的字符串，精确的定义如下：假设u是一个长度为n的字符串，表示为u[0...n-1]，v是一个长度为m的字符串，表示为v[0...m-1]，u和v的连接uv是一个新的字符串，长度为n+m。设这个新字符串为w，那么有u[0...n-1]=w[0...n-1]，v[0...m-1]=w[n...n+m-1]。

事先申明一下，下面提到的词，前缀，后缀，子串，边界，周期等实际上都是字符串，只不过是侧重点不同罢了。

前缀（prefix）：如果存在一个词（word） v，满足 uv = w，则称u是w的前缀；

后缀（suffix）：如果存在一个词v，满足 uv = w，则称v是w的后缀；

注意到u，v都可能是ε，因此w既是w的前缀，也是w的后缀。

子串（substring）或者因子（factor）如果存在两个词u，v，满足uzv = w，则称z是w的子串或者因子；一个子串u如果既是p的前缀，也是p的后缀，则称为p的边界（border）。

周期（periodic）对于i，0   i <m-p, 有 w[i]=w[i+p]，则称p是w的周期，最小的周期记为per（w）。一个词w称为基本的（basic）如果它不能写成另一个词的幂：即不存在词z和整数k满足w=z^k。

一个串p的逆（reverse）记成p，是把p的字母从最后一个开始，到第一个依次连接起来，如果串为p[0...m-1]，则它的逆为p[m-1]p[m-2]...p[1]p[0]。

Suff(p)表示串p的前缀的集合。fact(p)为p的因子的集合。

对于文本t和模式p，如果p[0]对齐t[s]，p[1]对齐t[s+1]，...，p[i]对齐t[s+i]，对于i=0,...,m-1，那我们说p在t中位移为s。这时子串t[s...s+m-1]叫做文本的当前窗口。如果t[s...s+m-1]=p，我们说位移s是有效的。那么显然字符串匹配的问题就可以表述为在文本t中找到p的所有有效位移。

大部分的字符串匹配算法工作的方法如下。首先通过一个大小为m的窗口来扫描文本t。对于每个窗口，检查是否与模式p相等（可以通过依次比较窗口和p的每个字符是否相等来判断，或者其他什么方法）。如果窗口和p相同，或者不匹配，那么向右移动窗口到下一个特定位置继续比较。每次比较叫做一次attempt。这种机制通常叫做滑动窗口机制。窗口最初的位置为0（在字符串的最左边），然后向右滑动窗口，直到窗口超出了文本的最右边的边界为止。

一般有三种基本的搜索方法。

前缀搜索:在搜索窗口内从前向后（沿着文本的正向）逐个读入文本字符，查找窗口中的文本和模式串的最长公共前缀，如KMP算法。

后缀搜索：在搜索窗口内从后向前（沿着文本的反向）逐个读入文本字符，查找窗口中的文本和模式串的最长公共后缀，如Boyer-Moore算法。

子串搜索：在搜索窗口内从后向前（沿着文本的反向）逐个读入文本字符，搜索满足如下条件的最长字符串u：u既是窗口文本的后缀，也是模式的子串，如Karp-Rabin算法。