背包问题---01背包最优方案总数(原理剖析代码实现)

<<背包问题---01背包(原理,伪代码,编程实现)>>中已谈过01背包，这里再重写一下01背包的动态规划状态及状态方程：

 设背包容量为V，一共N件物品，每件物品体积为C[i]，每件物品的价值为W[i]

1） 子问题定义：F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。

2） 根据第i件物品放或不放进行决策

                        (1-1)

 

         最优方案总数这里指物品总价值最大的方案数。

         我们设G[i][j]代表F[i][j]的方案总数，那么最总结果应该是G[N][V]。我们初始化G[][]为1，因为对每个F[i][j]至少应该有一种方案，即前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包使其价值最大的方案数至少为1，因为F[i][j]一定存在。

         下面开始分析怎么求G[i][j]。对于01背包来说：

        如果F[i][j]=F[i-1][j]且F[i][j]!=F[i-1][j-C[i]]+W[i]说明在状态[i][j]时只有前i-1件物品的放入才会使价值最大，所以第i件物品不放入，那么到状态[i][j]的方案数应该等于[i-1][j]状态的方案数即G[i][j]=G[i-1][j]；

        如果F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i] 且F[i][j]!=F[i-1][j]说明在状态[i][j]时只有第i件物品的加入才会使总价值最大，那么方案数应该等于[i-1][j-C[i]]的方案数，即G[i][j]=G[i-1][j-C[i]]；

        如果F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i] 且F[i][j]=F[i-1][j]则说明即可以通过状态[i-1][j]在不加入第i件物品情况下到达状态[i][j]，又可以通过状态[i-1][j-C[i]]在加入第i件物品的情况下到达状态[i][j]，并且这两种情况都使得价值最大且这两种情况是互斥的，所以方案总数为G[i][j]=G[i-1][j-C[i]]+ G[i-1][j]。

        

经过上面的分析，得出下述伪代码：

F[0][] ← 0

F[][0] ← 0

G[][ ] ← 1

for i ← 1 to N

    do for j ← 1 to V

        F[i][j] ← F[i-1][j]

        G[i][j] ← G[i-1][j]

        if (j >= C[i])

            if (F[i][j] < F[i-1][j-C[i]]+W[i])

                then F[i][j] ← F[i-1][j-C[i]]+W[i]

                    G[i][j] ← G[i-1][j-C[i]]

            else if (F[i][j] = F[i-1][j-C[i]]+W[i])

                then G[i][j] ← G[i-1][j]+G[i-1][j-C[i]]

return F[N][V] and G[N][V]

 上述方法在保存状态F[][]及G[][]时需要O(NV)的空间复杂度，下面我们对空间复制度进行优化。

 

压缩空间复杂度为O(V)

F[i][j]与G[i][j]只分别与F[i-1][]和G[i-1][]的状态有关，所以我们可以用两个一维数组F[]和G[]来替换二维数组F[][]和G[][]。具体思想请看博文

<<背包问题——“01背包”详解及实现（包含背包中具体物品的求解）>>

 

下面直接给出伪代码：

F[] ← 0

G[] ← 1

for i ← 1 to N

    do for j ← V to C[i]

        if (F[j] < F[j-C[i]]+W[i])

            then F[j] ← F[j-C[i]]+W[i]

                 G[j] ← G[j-C[i]]

        else if (F[j] = F[j-C[i]]+W[i])

            then G[j] ← G[j]+G[j-C[i]]

return F[V] and G[V]

 

下面对数据表给出详细代码：

背包数据表（背包容量10）

物品号i	1	2	3	4	5
体积C	3	2	5	4	5
价值W	5	5	10	10	10

时间复杂度O(VN),空间复杂度为O(V)：

#include<iostream>
using namespace std;
#define Size 1111

int dp[Size];
int Path[Size][Size];
int OptimalTable[Size];
int Max(int x,int y)
{
    return x>y?x:y;
}
int Package01_Compress(int Weight[], int Value[], int goodsN, int maxWeight){
	int i,j;
	/*======初始化======*/
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(Path,0,sizeof(Path));
//	memset(OptimalTable,1,sizeof(OptimalTable)); 这样初始化会出错
	/*
	因为memset是以字节为单位就是对array指向的内存的4个字节进行赋值，
	每个都用ASCII为1的字符去填充，转为二进制后，1就是00000001,占一个字节。
	一个INT元素是4字节，合一起就是00000001000000010000000100000001，
	就等于16843009，就完成了对一个INT元素的赋值了。 
　　所以用memset对非字符型数组赋初值是不可取的！ 
	*/
	for(int kt=0;kt<=maxWeight;kt++)
	OptimalTable[kt]=1;
	/*======初始化======*/
		for(i=1;i<=goodsN;i++)      //即怎么都有一种
			for(j=maxWeight;j>=Weight[i];j--){	
				if(dp[j]<(dp[j-Weight[i]]+Value[i])){//说明选第i最优
					dp[j] = dp[j-Weight[i]]+Value[i];
					OptimalTable[j]=OptimalTable[j-Weight[i]];//方案数和[j-Weight[i]]一样
				}
				else if(dp[j]==(dp[j-Weight[i]]+Value[i])){
				 OptimalTable[j] = OptimalTable[j-Weight[i]]+OptimalTable[j];
				}
				//else dp[j]>dp[j-Weight[i]]+Value[i]--->
				// 说明第i个不选 在weight=j这种情况下OptimalTable[j] =OptimalTable[j]  
				
			}
	return dp[maxWeight];		
    }
int main()
{
    int va[Size],vm[Size];
    
    int t,n,m;
    int i;
    cin>>t; //t组测试数据
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m; //n为个数,m为最大载重量
        for(i=1;i<=n;i++)
            cin>>va[i];
        for(i=1;i<=n;i++)
			cin>>vm[i];

		int myWhats=Package01_Compress(vm,va, n, m);
		cout<<myWhats<<endl;
		cout<<"-----一共有"<<OptimalTable[m]<<"组最优情况"<<endl;
         	
	}
	return 0;
}

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