函数不连续和导数不连续

断的是两个不同的东西
函数不连续：f 本身在某点断开（跳、洞、爆无穷、震荡）。
导数不连续：f 本身好好的（连续、可导、图像连着），坏的是斜率函数 f′ —— 切线方向在那点附近乱摆。
关系：差着一档

f'连续⇒f可导⇒f连续
取逆否：

f 不连续 ⇒ 导数根本不存在。 所以在那点谈不上"导数不连续"，是直接"没导数"。
因此"导数不连续"的前提是 f 可导——它是更轻、更隐蔽的毛病。

能坏的样式也不同
函数不连续：随便坏——跳跃、挖洞、爆无穷、震荡，全都可以。

导数不连续：只能震荡式坏。

跳跃不行（达布定理）；
挖洞也不行：若 lim f′(x) 存在 = L，由中值定理，差商 = f′(c) → L，逼得 f′(x₀) = L，洞自动填上。
所以导函数要坏，只能是极限不存在的震荡（−cos(1/x) 那种）。
直观对比
函数不连续：图像断了，笔画不过去。
导数不连续：图像连着，但凑近看切线方向疯狂乱转（x²sin(1/x)：0 处切线水平，旁边却到处是 45° 切线）
对应前面两个例子
sin(1/x) 在 0：函数不连续 → 导数不存在，问题停在第一层；
x²sin(1/x) 在 0：函数连续、可导，但导数不连续，问题在第二层。

一句话：函数不连续是 f 的病，导数不连续是 f′ 的病；前者直接杀死导数，后者是导数活着但活得不安稳。

函数不连续：f 本身在某点断开（跳、洞、爆无穷、震荡） 是4种情况吧，图形分别画一下

导数不连续：震荡式，但是看着也连续啊，震荡，也是一条线连着????????????????????