采药

采药

题目描述

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入格式

输入第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出格式

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

样例输入

70 3
71 100
69 1
1 2

样例输出

3

解题思路

该题目就是01背包问题，目标是获得最大的价值，限制条件是在允许的时间内，采用动态规划算法，dp[i] [j]是在前i物品在重量限制在j内能够获得的最大价值。动态规划就是得到状态转移方程，01背包问题的状态转移方程为：

1. 第i件物品可以放进去

dp[i][j] = max(dp[i−1][j], dp[i−1][j−w[i]]+v[i]) // j >= w[i]

2. 第i件物品放不进去

dp[i][j] = dp[i−1][j]

---

for (int i = 1; i <= n; i++)
{
	for (int j = V; j >= 0; j--)
	{
		if (j >= w[i])//如果背包装得下当前的物体
		{
			dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
		}
		else//如果背包装不下当前物体
		{
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];
		}
	}
}

我的疑惑

dp[i][j] = max(dp[i−1][j], dp[i−1][j−w[i]]+v[i]) // j >= w[i]

为什么是放入一个物品后变为dp[i−1] [j−w[i]]+v[i] 限重为什么减去w[i]

原因：因为j是逆向枚举的，前i-1个物品中我需要在其限重中减去w[i]，这样在i个物品时才有空间将其加入，这个问题最重要的地方在于逆向枚举。

代码

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public int T;
    public int M;
    //记录当前药品的
    public int[] times=new int[101];
    public int[] values=new int[101];
    public int[][] dp=new int[101][1001];
    public static void main(String[] args) {
        Main main = new Main();
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        main.T=scanner.nextInt();
        main.M=scanner.nextInt();
        for (int i = 1; i <= main.M; i++) {
            main.times[i]=scanner.nextInt();
            main.values[i]=scanner.nextInt();
        }

        for(int[] a:main.dp){
            Arrays.fill(a,0);
        }
        for (int i = 1; i <= main.M; i++) {
            for (int j = main.T; j>=0; j--) {
                if(j>=main.times[i]){
                    main.dp[i][j]= Math.max(main.dp[i - 1][j], (main.dp[i - 1][j - main.times[i]] + main.values[i]));
                }
                else{
                    main.dp[i][j]= main.dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        System.out.println(main.dp[main.M][main.T]);
    }
}