匀速圆周运动加速度与速度之间的关系

在一个平面里，
如果一个物体绕某点以距离r做匀速圆周运动，
我们就可以得到它的向心力

\[F = m{{\omega}^2}r \]

其动量大小是

\[P = m{\omega}r \]

不难发现

\[F = {\omega}P \]

\[ma = {\omega}mv \]

\[a = {\omega}v \]

如此简洁的表达式

是不是说明加速度和速度之间存在精巧的关联呢？

不妨假设有一个质点在一个平面上绕某点逆时针方向作匀速圆周运动，
匀速圆周运动示意图
如图,不难知道经过一段时间t后，
如果其转动角度为\(\theta\),
那么速度变化量可以表示为腰长为v，顶角为\(\theta\)三角形的底边

在极短时间内，质点运动初末位置和圆心构成的扇形和这个等腰三角形基本相似，

所以对此列出数学表达式

\[{{{\delta}v}\over{R\theta}} = {{v}\over{R}} \]

\[{\delta}v = v\theta \]

那么在极短时间内

\[a = {{dv}\over{dt}} = v{{d\theta}\over{dt}} = {\omega}v \]

证毕!