同余

 

同余的性质

看这里吧

欧拉定理

若正整数a,n互质，则a^φ(n)≡1(mod n)，其中φ(n)为欧拉函数。

费马小定理

若p是质数，则对于任意整数a,有a^p≡a(mod p)。

//当a,p互质时，要满足a^p-1≡1(mod p)，就是欧拉定理的一种特殊情况

  a,p不互质时，a是p的倍数，显然成立

欧拉定理的推论

若正整数a,n互质，则对于任意正整数b,有a^b≡a^b%φ(n)(mod n).

当a,n不一定互质且b>φ(n)时，有a^b≡a^{b%φ(n)+φ(n)}(mod n)

扩展欧几里得算法

求出gcd(a,b)与使得ax+by=gcd(a,b)成立的一组特解

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b){x=1;y=0;return a;}
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;return d;
}

对于更加一般的方程ax+by=c 它有解当且仅当d|c.

我们可以先求出ax+by=d的一组特解x0,y0，都乘以c/d就得到原方程的一组特解

通解就表示为x=(c/d)x0+kb/d,y=(c/d)y0-ka/d k为整数

乘法逆元

HERE 

线性同余方程

给定整数a,b,m,求一个整数x满足a*x≡b(mod m),或这给出无解。

其实就是求a*x-b是m的倍数 设它是m的-y倍，则a*x+m*y=b

然后就是扩欧求 没啦

 

中国剩余定理

设m1,m2,m3,...,mn是两两互质的整数，m=∏mi,Mi=m/mi,ti是线性同余方程Miti≡1(mod mi)的一个解。

对于任意n个整数a1,a2,...,an,方程组x≡ai(mod mi)有整数解，解为x=ΣaiMiti。