2021牛客暑期多校训练营3 E - Math （推导）

思路：
首先当然是可以打表找规律，不难发现就是\((x,x^3)\)都是符合值在范围内的一组解，然后至于其他情况就是一些\((2,8),(8,30),（30，112)\) ，可以发现规律是\((x,x^3)->(x^3,x^2*x^3-x)->(x^5-x,(x^5 - x)*x^2 - x^3)\)

那么下面就是用数学推导来求出这个规律是怎么来的
首先题目条件可以表示为\(x^2 + y^2 = k(xy + 1) -> x^2 + y^2 = kxy + k\)
那么假设我们固定\(x\)不动，也就是我们要枚举\(x\)，方程即可变为\(y^2 - kxy + x^2 - k = 0\)，由韦达定理可知，\(y_1 + y_2=kx,y_1*y_2=x^2-k\)，也就是说如果\((x,y)\)是一组合法的解，那么我们就可以推知\((x,kx-y)\)也是一组合法解。同时我们知道\(y\)一定是\(\ge0\)的，此时我们令\(y=0\)，由韦达定理的两式即可知，\(k=x^2\)，然后然后带回原式可解的\(y=x^3\)，故(x,x^3)是在\(k=x^2\)条件下的一组解，而我们又根据韦达定理，\((x,y) -> (x,kx-y)\)，同理，\((y,x)->(y,ky-x)\)，即可得
\((x,x^3)\)
\((x^3,x^5-x)\)
\((x^5-x,x^7-2x^3)\)
......
一直在合法的范围内递推下去
最后直接二分一下位置统计一下数量即为答案。

此类型题目时韦达定理的一种套路型题目好像，IMO.T6，有点东西的