UVa 1635 Irrelevant Elements (唯一分解定理 & 组合数学)

题目

题目大意

对于给定的\(n\)个数\(a_1\), \(a_2\), ···, \(a_n\), 依次求出相邻两数之和, 将得到一个新数列。重复上述操作, 最后结果将变成一个数。问这个数除以\(m\)的余数将与哪些数无关? 例如\(n = 3\), \(m = 2\)时, 第一次求和得到\(a_1 + a_2\), \(a_2 + a_3\), 再求和得到\(a_1 + 2a_2 + a_3\), 它除以\(2\)的余数和\(a_2\)无关。\(1 ≤ n ≤ 10^5\), \(2 ≤ m ≤ 10^9\)。

题解

通过一些打表我们发现, 在一般情况下, 最后\(a_i\)的系数是\(C_{n - 1}^{i - 1}\)。例如\(n = 5\)时最后结果是\(a_1 + 4a_2 + 6a_3 + 4a_4 + a_5\)。这样问题就变成了\(C_{n - 1}^{0}\), \(C_{n - 1}^{1}\), ···, \(C_{n - 1}^{n - 1}\)中有哪些是\(m\)的倍数。

由此我们可以递推出所有\(C_{n - 1}^{i - 1}\), 但其中一部分太过巨大, 需要使用高精度。但此问题只关心那些是\(m\)的倍数, 于是又可以用到唯一分解定理。并且递推可以使用\(C_n^k = \frac{n - k + 1}{k}C_n^{k - 1}\), 不会涉及到高精度。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
int n, m;
int factors[110][2], ccount[110], pascal[100010], num;
inline bool Judge(const int &n, const int &factor) {
  register int x(n - factor), y(factor);
  for (register int i(1), p; i <= num; ++i) {
    p = factors[i][0];
    while (!(x % p)) {
      x /= p;
      ++ccount[i];
    }
    while (!(y % p)) {
      y /= p;
      --ccount[i];
    }
  }
  for (register int i(1); i <= num; ++i) {
    if (ccount[i] < factors[i][1]) {
      return false;
    }
  }
  return true;
}
int main(int argc, char const *argv[]) {
  while (~scanf("%d %d", &n, &m)) {
    register int countt((num = 0));
    for (register int i(2); i * i <= m; ++i) {
      if (!(m % i)) {
        factors[++num][0] = i;
        factors[num][1] = 0;
        do {
          ++factors[num][1];
          m /= i;
        } while(!(m % i));
      }
    }
    if (m > 1) {
      factors[++num][0] = m;
      factors[num][1] = 1;
    }
    memset(ccount, 0, sizeof(ccount));
    for (register int i(1); i < n - 1; ++i) {
      if (Judge(n, i)) {
        pascal[countt++] = i + 1;
      }
    }
    printf("%d\n", countt);
    for (register int i(0); i < countt; ++i){
      printf(!i ? "%d" : " %d", pascal[i]);
    }
    putchar('\n');
  }
  return 0;
}