Bestcoder Tom and matrix

问题描述

Tom放学回家的路上，看到天空中出现一个矩阵。Tom发现，如果矩阵的行、列从0开始标号，第i行第j列的数记为ai,j，那么ai,j=Cji
如果i < j，那么ai,j=0
Tom突发奇想，想求一个矩形范围内所有数的和。Tom急着回家，当然不会自己算，所以就把任务交给你了。
因为数可能很大，答案对一个质数p取模。

输入描述

输入包含多组数据（大约8组）。每组数据只有一行五个非负整数，x1、y1、x2、y2、p，你要求的是∑x2i=x1∑y2j=y1ai,j模p后的值。
x1≤x2≤105,y1≤y2≤105,2≤p≤109

输出描述

对于每组数据输出一行，答案模p。

输入样例

0 0 1 1 7
1 1 2 2 13
1 0 2 1 2

输出样例

3
4
1

对于一个 矩阵的排列组合，C(X1,Y1) +C(X1,Y1+1)+....+(C(X1,Y2)=C(X1+1,Y2)-C(X1，Y1+1)；
        每一列都可以这样化，
所以后面就是：C（X，Y）%P的问题，这里证明LUCAS定律
C（X，Y）=【C(X/P,Y/P)+(X%P,Y%P）】%P；
来自百度百科：

复习lucas

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cmath>
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 100010;
const int mod = 1000000007;
LL f[N],num[N];
LL p;
void init()
{
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=N-5;i++)
    {
        int tmp=i;
        num[i]=num[i-1];
        while(tmp%p==0)
        {
            num[i]++;
            tmp/=p;
        }
        f[i]=f[i-1]*tmp%p;
    }
}

LL inv(LL a,LL n)
{
    LL res=1;
    a%=p;
    while(n)
    {
        if(n&1)res=res*a%p;
        a=a*a%p;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

LL calc(int a,int b)
{
    if(a<b)return 0;
    if(num[a]-num[b]-num[a-b])return 0;
    else return f[a]*inv(f[b],p-2)%p*inv(f[a-b],p-2)%p;
}
//先提取出阶乘里面的P 后面才能求逆元
int main()
{
    int x1,y1,x2,y2;
    
    while(scanf("%d%d%d%d%I64d",&x1,&y1,&x2,&y2,&p)>0)
    {
        init();
        LL ans=0;
        for(int i=y1;i<=y2;i++)
        {
            ans=((ans+calc(x2+1,i+1)-calc(x1,i+1))%p+p)%p;
        }
        printf("%I64d\n",ans);
    }
}

因为p是素数，所以a！=0 关于p的逆为 a^-1=a^(p-2)%p;小费马定理

‘因为p 很小 所以要先预处理 阶乘可不可过能能mod p==0;