模运算MOD性质

模运算(MOD)的性质总结

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基础性质

• 加法：$ (a + c) \equiv (b + d) \pmod m $
• 减法：$ (a - c) \equiv (b - d) \pmod m $
• 乘法：$ (a \times c) \equiv (b \times d) \pmod m $
• 幂运算：$ a^k \equiv b^k \pmod m $
• 归正: $ ( x \text{ % } m + m ) \text{ % } m $

特别注意：除法不满足直接约去! : 即 $ a \times c \equiv b \times c \not\Rightarrow a \equiv b $, 除非 $ \gcd(c, m)=1 $

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逆元

OI-Wiki 模意义下的乘法逆元

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费马小定理

示例代码

using ll = long long; // 十年 OI 一场空, 不开 long long 见祖宗

// 快速幂板子
ll pow(ll a, ll b, ll mod) { 
    ll res = 1;         
    while (b) {
        if (b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

// 费马小定理求逆元, mod 必须为质数且 a 不是 mod 的倍数
ll inv_fermat(ll a, ll mod) {
    return pow(a, mod - 2, mod);
}

模板

ll pow(ll x,ll y)
{
    x%=mod;
    ll res=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
            res=(res*x)%mod;
        x=(x*x)%mod;
        y>>=1;
    }
    return res;
}
// pow(a,mod-2);

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拓展欧几里得

示例代码

using ll = long long;
 
// exgcd：ax + by = gcd(a, b) 的一组解
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll d = exgcd(b, a % b, y, x); 
    y -= a / b * x;
    return d;
}

// 求 a 在模 mod 下的逆元 ( mod 可为任意整数，需 gcd(a, mod) = 1)
ll inv_exgcd(ll a, ll mod) {
    ll x, y;
    ll d = exgcd(a, mod, x, y);
    if (d != 1) return -1; // 不存在逆元
    return (x % mod + mod) % mod;
}

模板

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    ll d=(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}
ll inv_exgcd(ll a)
{
    ll x,y;
    ll d=exgcd(a,mod,x,y);
    if(d!=1)
        return -1;
    return (x%mod+mod)%mod;
}

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对比

对比维度	费马小定理	扩展欧几里得 (exgcd)
模数要求	必须为质数	任意整数（只需互质）
互质要求	\(( \gcd(a,p)=1 )\)	\(( \gcd(a,m)=1 )\)
核心运算	快速幂（乘法）	辗转相除（加减乘）
时间复杂度	\(( O(\log p) )\)	\(( O(\log m) )\)
代码长度	短（仅快速幂）	稍长（递归回溯）
是否依赖质数检验	是（若误用于合数，结果错误）	否
常数因子	较大（快速幂循环约 30~60 次乘法）	较小（欧几里得迭代约 10~20 次）
批量求逆元	配合阶乘预处理 \(( O(n) )\)	也可线性递推，但需模数为质数