Silverlight数学引擎（6）——尺规作图分析

本系列（Silverlight数学引擎）的几何部分的不少思想是参考了微软的工程师Kirill Osenkov的开源项目“livegeometry”，大家有兴趣可以去参与该项目的讨论，项目地址是：http://livegeometry.codeplex.com。

 尺规作图就是用直尺(没有刻度哦)和圆规，当然还有笔啦，来绘制几何图形从而解决纯几何方面的数学问题，我们来总结一下笔尺规这三大元素：

1. 笔：用来画点（包括任意点、交点、图形上的点）和命名。
2. 尺：用来画线（两点确定一线，所以线直接依赖于两个点）。
3. 规：用来画圆（由一个线段（半径）和一个点（圆心）确定，所以圆直接或者间接地依赖于三个点）。

 简单吧，一切都是从一个点开始，一生二、二生三、三生万物，其精彩简直可以与现实的世界相媲美，从而使我们有兴趣以屏幕之方寸地，展现几何宇宙之精妙。所以这一节我们不写代码页不搞设计，只是来逛一逛几何世界，顺便取点心经回去——汝果欲写诗，功夫在诗外。

 先来贴两张几何大牛的作品：

 

几何的世界与我们面向对象的编程世界一样，一切皆有规则，不按规则出牌必将产生不了期望的结果，遵循规则除了能达到期望之外，往往还会有意外的收获，从上面两张图，你看出了什么呢？量变才能体现质变，正如只有经历过千百遍的代码重构，才能总结出模式的精华一样，无数个圆的外接三角形的出现，在圆之外又造就了一片天。

 

好了，繁华阅尽，回归真纯吧，其实再复杂的图形都是最终都是依赖于一些微不足道的小点，那么我们就来归纳一下点的行为和属性，尺规作图中的点有三种：

1. 任意点（FreePoint）：用笔在纸上随意画的点，位置由笔指定。
2. 交点(IntersectionPoint)：比如线和圆的交点，最多有两个，位置由线和圆的位置来确定。
3. 图形上点(PointOnFigure)：比如圆上的点，属于半任意点，因为只要在圆上，位置可以不确定，

这三种基本的点之间没有直接的依赖关系，其他的点如中点(MidPoint)等都是扩展点，是这三个点中的一种，例如通过作图可以知道中点其实就是一个交点。

从一开始的分析我们就知道，任何复杂的图形最终都是依赖于点的，所以交点也是间接依赖于任意点的，任意点的位置是画的时候确定的（不过在屏幕上画图时我们要允许它能够通过鼠标移动，也就是说其位置由鼠标指定），这些都比较容易理解也容易实现。

下面来说说那个半拉子任意点（PointOnFigure），这个就有点头痛了，任何模棱两可的东西都让寡人头痛，这类东西就像是社会上不安分守纪的爱钻法律空子的分子，你不能说它不遵循规则，但是它就是让你不爽。对于这种东西，我们除了完善法律法规来治它别无他法，总不能以暴制暴对吧，非暴力不合作也解决不了什么问题，我们要依法治国，以德服人。

好了，法律也是分门别类的，但是根是根本大法，来总结一下PointOnFigure的规律，以找出共同点和不同点，从而为我们制定根本法和专门法寻找依据，尺规作图只有线和圆（当然还有圆弧，其他不用圆弧也行的），我们有两种PointOnFigure：

1. PointOnLine：如果Line依赖于两个自由点AB，当A的位置变化时，线也会跟着变化，这个时候PointOnLine（C）的位置该怎么变化呢？当然有多种选择，例如

　　　　（一）：使得其与Line的第一个点A的距离保持不变；

　　　　（二）使其分线段AB的比例（即AC:CB）不变。

　　很明显，选择（二）更合适一点。

1. PointOnCircle：如果P在圆Ｏ上，当圆Ｏ的大小发生变化时，Ｐ的位置如何？也可以有多种选择方案，例如

　　　　（一）：使其与水平线X轴正向的夹角(角POX)不变，

　　　　（二）：如果圆Ｏ是以MN为直径的圆，可以使P分弧PM、PN的比例不变。

　　这两点各有所长，应用的场景也不一样，其实MN就是将水平轴X转了个角度而已，所以选（二）更灵活一点。

 

 

至此规则就已经明了了，我们的根本大法是“比例不变”，专门法律根据具体图形确定，对于线是“距离比例不变”，对于圆是“角度比例不变”。法律在面向对象编程的世界里有个专门名词，不错，它就是接口（Interface），熟悉接口编程的应该都知道它的强大了，因为它制定了法规，实现了人人平等。

 

好了，以上分析了点的一些特征，归根结底就是讨论点的位置的确定，由此坐标系这个玩意又出现了（我们在前面已经实现了CoordinateSystem了），虽然实际的尺规作图不会用到坐标的概念，但是我们需要将它展示在屏幕上，自然还是少不了坐标系。再说，我们之前实现的坐标系是个Canvas，在此完全可以将其作为一个画板来画我们的点了，否则皮之不存毛将焉附呢！

 好啦，这节没有代码，就不提供下载了！

 下一部分我们将分析一下一些数学计算，比如圆和线的交点的坐标如何计算、数学极值问题（如两线由相交变平行，其交点无穷远不存在了）等等。

因为以后涉及到大量的UI操作，就类似于游戏编程一样，涉及到大量的屏幕元素的相关数学计算，我们先把要用的东西归纳下，磨刀不误砍柴工嘛！