中国剩余定理的理解

转载：https://zhuanlan.zhihu.com/p/44591114

参考：https://blog.csdn.net/qq_41897386/article/details/82289975

 

问题1：计算一个整数  ，使得它满足除以3余2、除以5余3、除以7余2。

答案：23

 

考虑问题的分解：

如果能够找到三个整数  ，使得：

 除以3余2、除以5余0、除以7余0；

 除以3余0、除以5余3、除以7余0；

 除以3余0、除以5余0、除以7余2；

那么令  ，就很容易验证这时的  就满足除以3余2、除以5余3、除以7余2。

分别称找到整数  的问题为问题1-1、问题1-2、问题1-3。可以看出这三个问题本质上是类似的。

下面对问题1-1继续分解，如果能够找到一个整数  满足  除以3余1、除以5余0、除以7余0，那么令  ，就很容易验证这时的  就满足除以3余2、除以5余0、除以7余0。

因此定义

问题1-1-1为：寻找整数  满足  除以3余1、除以5余0、除以7余0；

问题1-2-1为：寻找整数  满足  除以3余0、除以5余1、除以7余0；

问题1-3-1为：寻找整数  满足  除以3余0、除以5余0、除以7余1。

这三个问题本质上是相同的。

如果找到了  ，那么就可以取  。

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下面就以问题1-1-1为例：寻找整数  使得  除以3余1、除以5余0、除以7余0。

于是  一定是  的倍数，假设  。

那么就有  ，而这时的  就是  模3的逆，将这个  记作  ，那么  就等于  ，恰好就是  ，对应“凡三三数之剩一，则置七十”一句及“三人同行七十稀”一句。

于是类推得到，

问题1-1-2的解答是  ，恰好就是  ，对应“五五数之剩一，则置二十一”一句及“五树梅花廿一枝”一句；

问题1-1-3的解答是  ，恰好就是  ，对应“七七数之剩一，则置十五”一句及“七子团圆月正半”一句。

所以将分解的问题复原，可得：

 。

最后 ，注意到，如果  满足除以3余2、除以5余3、除以7余2，那么  也同样满足。

因此要计算满足要求的最小的非负整数，就只需要计算总和除以105的余数即可。

 

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下面把这个问题一般化：假设整数  两两互素，则对于任意的整数  ，方程组

都存在整数解，且若 都满足该方程组，则必有  ，其中  。

具体而言，  。

 

模的逆元定义：

　　逆元是指在数学领域群G中任意一个元 a，都在G中有唯一的逆元a'，具有性质 a · a' = a' · a = e ( · 为该群中定义的运算)。其中，e为该群的单位元。

　　逆元其实是加法中的相反数以及乘法中的倒数的拓展思想。

　　在模运算中，单位元便是1。

　　a mod p的逆元便是可以使 a * a' mod p = 1 的最小a'。