谢启鸿老师思考题及解答合集
问题2017S01：设$A$是$n$阶对合阵,即$A^2 = I_n$.
证明$n - \text{tr}(A)$为偶数,并且$\text{tr}(A) = n$当且仅当$A = I_n$
解答：问题2017S01解答
问题2017S02:
设方阵$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a & a & 0 \\ a-2 & 0 & 1 & 0 \\0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$可对角化,求$a$的值.
解答：问题2017S02解答
问题2017S03：设$A_1,\cdots,A_n \in M_n(\mathbb{K}),g(x) \in \mathbb{K}[x],$使得$g(A_1),\cdots,g(A_n)$都是非异阵.证明:存在$h(x) \in \mathbb{K}[x]$,使得$g(A_i)^{-1} = h(A_i)$对所有的$1 \le i \le m$都成立.
解答：问题2017S03解答
问题2017S04：设 $A=(a_{ij})$为$n$阶复矩阵,证明:存在正数$\delta$,使得对任意的$s\in(0,\delta)$,下列矩阵均可对角化:
\[A(s)=\begin{pmatrix} a_{11}+s & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}+s^2 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}+s^n \end{pmatrix}.\]
解答：问题2017S04解答
问题2017S05：设$A$为$n$阶方阵,证明:若下列条件之一成立,则矩阵方程$AX+XA=X$只有零解.
(1) $A$为幂零阵,即存在正整数$m$,使得$A^m=0;$
(2) $A$中所有元素都为$1;$
(3) $A$的特征值全为偶数;
(4) $A$中所有特征值的模长都小于$\dfrac 12.$
解答：问题2017S05解答
问题2017S06：证明: 实对称阵有完全的特征向量系, 从而可对角化.
解答：详见实对称阵可对角化的几种证明.
问题2017S07：设$A,B,AB$都是$n$阶实对称阵, 证明: 若$s$是$AB$的一个特征值, 则存在$A$的特征值$\lambda_0$和$B$的特征值$\mu_0$, 使得$s=\lambda_0\mu_0$.
解答：问题2017S07解答
问题2017S08：设$n$阶实方阵$A=\begin{pmatrix} a_1 & 1 & & & & \\ 1 & a_2 & 1 & & & \\ & 1 & a_3 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & 1 & a_{n-1} & 1 \\ & & & & 1 & a_n \end{pmatrix}$
(1)求证: $A$有$n$个互不相同的特征值;
(2)试求实线性空间$C(A)=\{B\in M_n(\mathbb{R})\mid AB=BA\}$的维数.
解答：问题2017S08解答
问题2017S09:在谢老师的博文思考题九的七种解答中已经给出了十分详细的讨论,我这里就偷一个懒了,哈哈.有空再补出我自己的证明.
问题2017S10：设$V$是数域$\mathbb{K}$上的$n$维线性空间,$\varphi$是$V$上的线性变换,证明：$\varphi$的极小多项式在$\mathbb{K}$上不可约的充分必要条件是对于任意$\varphi$的不变子空间$\varphi$,存在$\varphi$的不变子空间$W$,使得$V = U \oplus W$
解答：问题2017S10解答
问题2017S11：设$f(z)$是收敛半径为$+\infty$的复幂级数.$A \in M_n(\mathbb{C})$,$g(\lambda) = \det(f(\lambda)I_n-f(A))$,证明:$g(A)=0$
解答：问题2017S11解答
问题2017S12： 设$A$为$n$阶正定对称阵,$B$为$n$阶实方阵,使得$\begin{pmatrix} A & B' \\ B & A^{-1} \end{pmatrix}$为半正定阵.证明$B$的特征值都落在复平面内的单位圆内.
解答：问题2017S12解答
问题2017S13： 设$AB$均为$n$阶半正定实对称阵,满足$\mathrm{tr}(AB)=0$.求证$AB=0$
解答：问题2017S13解答
问题2017S14：设$a_1,\cdots,a_n$是$n$个互异的正实数,试用两种方法证明:$n$阶实对称阵$A=(a_{ij})$是正定阵,其中$\displaystyle a_{ij}=\frac{1}{a_i+a_j}$
解答：问题2017S14解答
问题2017S15：设$A$为$n$阶正定实对称阵,$x = (x_1,\cdots,x_n)',f(x) = x'Ax$为对应的实二次型.设去掉的第$i$行和第$i$列后的主子阵为$A_i.$证明:$f(x)$在$x_i=1$的条件下的最小值为$\dfrac{|A|}{|A_i|}$
解答：问题2017S15解答
问题2017S16：设$A$为$n$阶实对称阵,证明:$A$为正定阵(半正定阵)的充要条件是
\[ c_r=\sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots<i_r\leq n}A\begin{pmatrix}i_1\,\,i_2\,\,\cdots\,\,i_r \\i_1\,\,i_2\,\,\cdots\,\,i_r \end{pmatrix}>0\,\,(\geq 0),\,\,\,\,r=1,2,\cdots,n. \]
解答：问题2017S16解答
问题2017S17：设 $A$为 $n$阶正定实对称阵,$\alpha,\beta$是$n$维实列向量,证明:$(\alpha'\beta)^2\leq(\alpha'A\alpha)(\beta'A^{-1}\beta)$, 等号成立当且仅当$A\alpha$与$\beta$成比例.
解答：问题2017S17解答
问题2017S18: 设$A$为$n$阶复矩阵, $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$是 $-\dfrac{\mathrm{i}}{2}(A-\overline{A}')$的全体特征值, 证明:对$A$的任一特征值 $\lambda$,有$\lambda_1\leq\mathrm{Im\,}\lambda\leq\lambda_n$.
解答：问题2017S18解答
转眼间一学期就结束了，高等代数的学习告一段落。思考题还是陪伴我度过了这学期的美好时光。接下来，就要向着后续课程前进了。
But the soil must be cultivated, and the season favourable, for the friuts to have all its spirit and flavor.
最后留下LaTeX源码：
f1(λ)f2(λ)
