Codeforces 1106C Lunar New Year and Number DivisionLunar |数学

题意：给定一个\(n\)个数的序列(\(n\)为偶数) 。将数列组合为若干组。每组的数的个数至少为2。
求每一组数的和平方后，所有组之和的最小值。

思路:

排序后，第\(i\)小与第\(i\)大两两配对就行了。

证明：

A.两两配对更优

因为假设两个数组合起来\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)，相比于$ a^2+b2$，只会多了个\(2ab\)的项

如果是三个数组合起来，那么是\((a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)，会多3个类似\(2ab\)的项。以此类推。

题目已经说明所有数均大于0，显然我们无法在\(a^2\)这种项下功夫，所以只要类似\(2ab\)的项越少，答案就越小。

假设两两组合，所得的这种\(2ab\)的项是最少的。

Q.E.D

B.小的与大的配对更优

假设\(a<b<c<d\)，则问题转化为证明\(ac+bd - ad-bc\ge0\)

\(ac+bd-ad-bc\)

\(=(a-b)c + (b-a)d\)

\(= -(b-a)c + (b-a) d\)

$ \because c<d$

\(\therefore (b-a)c <(b-a)d\)

\(\therefore -(b-a)c +(b-a)d >0\)

\(\therefore ac+bd-ad-bc>0\)

Q.E.D.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,a[300100],ans;
int main()
{
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	  cin>>a[i];
	sort(a+1,a+1+n);
	for (int i=1;i<=n/2;i++)
	{
		ans+=(a[i]+a[n-i+1])*(a[i]+a[n-i+1]);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}