Luogu P4809 [CCC 2018]最大战略储备|最小生成树

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题目大意：

有 \(N\) 个星球，编号为 \(1\ldots N\)。每个星球有 \(M\) 座城市，编号为 \(1\ldots M\)。我们将 \(e\) 星球上的城市 \(f\) 记作 \((e,\,f)\)。有两类边，均为双向：
有 \(N\times P\) 条一类边，每个星球有 \(P\) 条，编号为 \(1\) 到 \(P\)。第 \(i\) 条边连接城市 \((e,\,a_i)\)和 \((e,\,b_i)\) ，边权为 \(c_i\)。
有 \(M\times Q\) 个二类边。每个城市有 \(Q\) 条，编号为 \(1\) 到 \(Q\)。第 \(j\) 个边连接城市 \((x_j,\,f)\)和 \((y_j,\,f)\) ，边权 \(z_j\) 。

如图所示，红色为一类边，绿色为二类边。请读者注意，这里极易混淆导致下文无法理解
求总边权和-最小生成树边权和。

\(0\le N,M,P,Q\le 10^5\)，边权最大\(10^8\)。

题目思路：

首先，我们可以按照题目大意做出最小生成树，这样可以拿到\(59 pts\)。而剩余测试点会因点数或边数过大而无法通过，因此需考虑优化。
观察一下本题中，\(Kruskal\)算法运行时的加边过程，可以发现选边时是选一组相同（即所有\(a_i\ b_i\ c_i\)或所有\(x_j\ y_j\ z_j\)）的，这里面又是有规律的。我们将一组相同的边统筹起来，并分类考虑。

以下所有叙述均以Kruskal为基础

若当前没有一类边，我们加入二类边，显然要加\(m\)条。
若当前有一组一类边，那么必定在每个星球中，存在\((e,a_i)\)和\((e,b_i)\)被连接，此时二类边可以不同时在\(i\)和\(j\)连边，而是在\(i\)或\(j\)连一条边即可，这与同时连边是等价的。因此，仅需加\(m-1\)条边
若当前有两组一类边，同理，需加\(m-2\)条边，若当前有\(x\)组一类边，需加\(m-x\)条二类边。
而二类边对一类边的影响也是类似的，若有\(y\)组二类边，需加\(n-y\)条一类边。
有了这些规律后，我们可以发现不再需要用所有点建最小生成树，而只需要维护一行和一列，建最小生成树即可，即，并查集由\(n \times m\)变为\(n+m\)，这时建最小生成树可以通过。

上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,p,q,fa[300100],siz;long long s,s1,s2;bool task1;
struct edg
{
	long long u,v,len;
}e1[100100],e2[100100];
bool cmp(edg x,edg y)
{
	return x.len<y.len;
}
int getfa(int x)
{
	if (x==fa[x]) return x;
	return fa[x]=getfa(fa[x]);
}
bool hebing(int x,int y)
{
	x=getfa(x);y=getfa(y);
	if (x!=y) 
	{
		fa[x]=y,siz--;
		return true;
	}
	else return false;
}//并查集
int main() 
{
	cin>>n>>m>>p>>q;
	for (int i=1;i<=p;i++)
	{
		cin>>e1[i].u>>e1[i].v>>e1[i].len;
		s+=e1[i].len*n;
		if (e1[i].len!=1) task1=false;
	}
	for (int i=1;i<=q;i++)
	{
		cin>>e2[i].u>>e2[i].v>>e2[i].len;
		s+=e2[i].len*m;
		if (e2[i].len!=1) task1=false;
	}
		siz=n+m;
		for (int i=1;i<=n+m;i++)
		{
			fa[i]=i;
		}
		sort(e1+1,e1+p+1,cmp);
		sort(e2+1,e2+q+1,cmp);//排序，Kruskal建边
		bool f1=false,f2=false;
		for (int i=1,j=1;i<=p||j<=q;)
		{
			if ((i<=p)&&(e1[i].len<e2[j].len||j>q))
			{
				f1=hebing(e1[i].u,e1[i].v);			
				if (f1) s-=e1[i].len*(n-s2),s1++;
				if (siz==2) break;
				i++;continue;
			}
			else
			{
				f2=hebing(m+e2[j].u,m+e2[j].v); 	
				if (f2) s-=e2[j].len*(m-s1),s2++;	
				if (siz==2) break;
				j++;continue;
			}
		}
		cout<<s<<endl;
	return 0; 
}