【学习笔记】反演魔法

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反演，就是讲一个函数乘一个矩阵变为另一个函数，逆反演就是乘逆矩阵。

二项式反演

\(F(n)=\sum\limits_{i=0}^{n} \binom{n}{i} G(i)\) \(<---->\) \(G(n)=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}F(i)\)
考虑生成函数的证明。

\[F[n]=\sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n}{i}G[i]\\ \frac{F[n]}{n!}=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{1}{(n-i)!}\frac{G[i]}{i!} \]

因为 \(e^x=\sum\limits_{i=0}\frac{x^i}{i!}\)

\[G\times e^x = F \to G = F\times e^{-x} \]

于是

\[\frac{G[n]}{n!}=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{(-1)^{n-i}}{(n-i)!}\frac{F[i]}{i!}\\ G[n]=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}F[i] \]

当然你如果不太熟悉生成函数可以将结论代入原式证明。

Min-Max 反演

\[Max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}Min(T) \]

相反也同样成立，可以用容斥证明。
在期望下也同样成立！

拓展minmax容斥：

不证了。

\[Kthmax(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}Min(T) \]

令人惊讶的是，这个式子在期望下也是成立的。众所周知期望的minmax比较难算，有一些奇妙的应用。

斯特林反演

不会，咕咕咕。

集合反演

莫比乌斯反演是其中的一部分，大类还不会，咕咕咕。
好像就是容斥来着

单位根反演

有用但是不多，先不更