【学习笔记】线性求逆元

假设我们已经求出了 [1,n-1] 的逆元，现在要求 n 的逆元。
令 \(t=\lfloor{\frac{p}{n}}\rfloor,k= p \% n\)，那么：

\[t\times n+k\equiv 0 (\mod p) \]

\[-t\times n\equiv k (\mod p) \]

令左右同除 \(n\times k\)，那么

\[t\times k^{-1}\equiv n^{-1}(\mod p) \]

将式子带回去，

\[n^{-1}\equiv(p-p/n)\times(p\%n)^{-1}(\mod p) \]

也有求解方式是通过求出阶乘后对于\(n!\)费马小定理求逆元后倒推回去。