【学习笔记】杜教筛

如果我们要求一个积性函数 \(f(x)\) 的前缀和，可以用杜教筛在 \(O(n^{\frac{2}{3}})\) 的复杂度求出。
具体地，构造函数 \(g(x)\) 和函数 \(h(x)\) ，使得 $h=f*g $，要求的式子是 \(S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}f(i)\)。
开始推式子。

\[\sum\limits_{i=1}^{n}h(i)=\sum\limits_{i=1}^{n}g(i)\sum\limits_{i=1}^{}\sum\limits_{d|i}^{i}g(d)\times f(\frac{i}{d})\\ \sum\limits_{i=1}^{n}h(i)=\sum\limits_{i=1}^{n}g(i)\sum\limits_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{j}\rfloor}f(j)\\ \sum\limits_{i=1}^{n}h(i)=g(1)S(n)+=\sum\limits_{i=1}^{n}g(i)\times S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\\ \sum\limits_{i=1}^{n}h(i)=g(1)S(n)+\sum\limits_{i=2}^{n}g(i)\times S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\\ g(1)S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}h(i)-\sum\limits_{i=2}^{n}g(i)\times S(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor) \]

如果\(h(x)\)的前缀和好做，后面的式子可以整除分快。
 
对于莫比乌斯函数，可以构造 \(g(x)\)为\(I\)函数。
那么:\(S(n)= 1- \sum\limits_{i=2}S(\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor)\)。
 
对于欧拉函数，可以构造为 \(I\).
那么： \(S(n) = \sum\limits_{i=1}^{n}i-\sum\limits_{d=2}^{n}S(\lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor)\)。

 
对于$ S(n) = \sum\limits_{i=1}^{n} i\times \phi(i)$，可以构造函数 \(g(x)=\frac{n}{d}\)。

\(\to\)对于某一类积性函数，可以通过观察积性函数的关系来构造函数。

 

P4213 【模板】杜教筛（Sum）代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int rd(){
	int f=1,j=0;
	char w=getchar();
	while(!isdigit(w)){
		if(w=='-')f=-1;
		w=getchar();
	}
	while(isdigit(w)){
		j=j*10+w-'0';
		w=getchar();
	}
	return f*j;
}
const int N=2e7+10,ma=2e7;
unordered_map<int,long long>mul,fi;
long long Mul[N],Fi[N];
void work(int t){
	if(t>ma&&mul.count(t))return ;
	if(t<=ma)return ;
	long long ansa=1ll*t*(t+1)/2,ansb=1;
	for(int l=2,r;l<=t;l=r+1){
		r=t/(t/l),work(t/l);
		if(t/l>ma)ansa-=1ll*(r-l+1)*mul[t/l],ansb-=1ll*(r-l+1)*fi[t/l];
		else ansa-=1ll*(r-l+1)*Mul[t/l],ansb-=1ll*(r-l+1)*Fi[t/l];
	}
	mul[t]=ansa,fi[t]=ansb;
	return ;
}
bool wk[N];
int zhi[N],tail;
void init(){
	Mul[1]=Fi[1]=1;
	for(int i=2;i<=ma;i++){
		if(!wk[i])zhi[++tail]=i,Mul[i]=i-1,Fi[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tail&&zhi[j]*i<=ma;j++){
			wk[zhi[j]*i]=true;
			if(i%zhi[j]==0){
				Mul[i*zhi[j]]=Mul[i]*zhi[j];
				break;
			}
			Mul[i*zhi[j]]=Mul[zhi[j]]*Mul[i];
			Fi[i*zhi[j]]=-Fi[i];
		}
	}
	for(int i=2;i<=ma;i++)Mul[i]+=Mul[i-1],Fi[i]+=Fi[i-1];
	return ;
}
signed main(){
	init();
	int T=rd();
	while(T--){
		int t=rd();
		work(t);
		if(t>ma)printf("%lld %lld\n",mul[t],fi[t]);
		else printf("%lld %lld\n",Mul[t],Fi[t]);
	}
	return 0;
}

有点小卡常，要先线性筛出前 2e7 位。