【学习笔记】莫比乌斯反演

先来了解一下狄利克雷卷积的概念。对于函数 \(f\) 和 \(g\) ，我们定义运算 \({“*”}\) 为：

\[F(x)=\sum\limits_{d|n}f(x)\times g(\frac{n}{d}) \]

莫比乌斯函数：

\[\mu(x)=\begin{cases} (-1)^k (x的每个质因数次数为1，k为质因数个数)\\ 0 (x的某个质因数次数大于1)\\ \end{cases} \]

全篇最重要的式子：\(\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)，即 \(\mu * I= [n=1]\)。（证明考虑容斥）

莫比乌斯反演的式子：若 \(F(x)=\sum\limits_{d|n}f(d)\)，那么 \(f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})\)。可用狄利克雷卷积证明，

欧拉反演：已知欧拉函数有一个著名的式子\(\sum\limits_{d|n} \phi(x)= n\)，即为 \(\phi * I=n\)。两边同时乘 \(\mu\),得到\(\phi = id * \mu\)，即 \(\phi(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\times \frac{n}{d}\)，推出 \(\frac{\phi(n)}{n}=\sum\limits_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}\)。

基础已经掌握了，来食用点例题，

例一

求：

\[\sum\limits_{i=0}^{n}\sum\limits_{j=0}^{m}[\gcd(i,j)==1] \]

\([\gcd(x,y)==1]\)可以用上面的式子替换为 \(\sum\limits_{d|x,d|y}\mu(d)\)。
莫比乌斯反演里一个最基础的技巧即是交换求和顺序，我们统计每一个 \(\mu(x)\) 有多少个，显然有 $\lfloor{\frac{n}{x}}\rfloor \lfloor{\frac{m}{x}}\rfloor $个。那么答案为 $\sum\limits_{d}^{n} \mu(d) \lfloor{\frac{n}{d}}\rfloor \lfloor{\frac{m}{d}}\rfloor $。

你已经会莫比乌斯反演了，现在去做做莫比乌斯反演基础练习题-幽灵乐团吧！
常用的两个技巧：交换求和号，整体代换。