【题解】CF1394D

题目描述

有一棵 \(n\) 个点的树（\(1\le n\le 2\times10^5\)），第 \(i\) 个点有参数 \(a_i,b_i\)。（\(1\le a_i,b_i\le10^6\)）

现在要求把这棵树剖分成若干条链（链包括端点），使每条边恰好出现在一条链中，且要求链上的点的 \(b_i\) 单调不降或单调不增。一条链的权值定义为链上所有点的 \(a_i\) 之和。

求在所有剖分方案中，链的总权值最小为多少。

题解

可以观察到如果所有值都不同，那么答案一定是naive的，于是只考虑相同的点。
对于相同的点之间的边，一定是由下连到上的，于是我们可以对它进行定向做Dp，\(f_{i,0/1}\)代表第i个点及其它的子树内当前点到它的的fa的边的方向是上/下的最小和。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int rd(){
	int f=1,j=0;
	char w=getchar();
	while(!isdigit(w)){
		if(w=='-')f=-1;
		w=getchar();
	}
	while(isdigit(w)){
		j=j*10+w-'0';
		w=getchar();
	}
	return f*j;
}
const int N=200010;
int head[N],to[N*2],fro[N*2],tail;
int n,A[N],B[N],f[N][2],du[N];
struct node{
	int p,val;
	bool operator <(const node &a)const{return val<a.val;}
};
vector<node>own[N]; 
inline void adlin(int x,int y){
	to[++tail]=y,fro[tail]=head[x],head[x]=tail;
	return ;
}
priority_queue<node>que;
void dfs(int u,int fa){
	int sum0=0,num0=0,sum1=0,num1=0;
	for(int k=head[u];k;k=fro[k]){
		int v=to[k];
		du[u]++;
		if(v==fa)continue;
		dfs(v,u);
		if(B[v]>B[u])sum0+=f[v][0],num0++;
		else if(B[v]<B[u])sum1+=f[v][1],num1++;
		else num0++,sum0+=f[v][0],own[u].push_back((node){v,f[v][0]-f[v][1]});
	}
//	cout<<u<<":"<<sum0<<" "<<num0<<"-"<<sum1<<" "<<num1<<"\n";
	if(B[fa]<=B[u]){
		int ansn=1e18;
		while(!que.empty())que.pop();
		int a=num0,b=num1,c=sum0,d=sum1;
		for(int i=0;i<own[u].size();i++){
			que.push(own[u][i]);
		}
//		cout<<u<<":"<<a<<" "<<c<<"-"<<b<<" "<<d<<"\n";
		ansn=min(ansn,c+d+max(a,b+(u!=1))*A[u]);
		while(!que.empty()){
			int p=que.top().p;que.pop();
//			cout<<u<<":"<<a<<" "<<c<<"-"<<b<<" "<<d<<"\n";
			a--,c-=f[p][0],b++,d+=f[p][1];
			ansn=min(ansn,c+d+max(a,b+(u!=1))*A[u]);
		}
		f[u][0]=ansn;
//		if(du[u]==1&&fa!=0)f[u][0]=A[u];
	}
	if(B[fa]>=B[u]){
		int ansn=1e18;
		while(!que.empty())que.pop();
		int a=num0,b=num1,c=sum0,d=sum1;
		for(int i=0;i<own[u].size();i++){
			que.push(own[u][i]);
		}
		ansn=min(ansn,c+d+max(a+(u!=1),b)*A[u]);
		while(!que.empty()){
			int p=que.top().p;que.pop();
			a--,c-=f[p][0],b++,d+=f[p][1];
			ansn=min(ansn,c+d+max(a+(u!=1),b)*A[u]);
		}
		f[u][1]=ansn;
//		if(du[u]==1&&fa!=0)f[u][1]=A[u];
	}
	return ;
}
signed main(){
	n=rd();
	for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=rd();
	for(int i=1;i<=n;i++)B[i]=rd();
	for(int i=1;i<n;i++){
		int x=rd(),y=rd();
		adlin(x,y),adlin(y,x);
	} 
	dfs(1,0);
//	for(int i=1;i<=n;i++)cout<<i<<":"<<f[i][0]<<" "<<f[i][1]<<"\n";
	printf("%lld",f[1][0]);
	return 0;
}