初等数论

最大公约数

求法：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
证明：
假设存在整数n满足n|b&&n|a
那么我们可以设a=xn,b=yn
a%b=(xn)%(yn)=(x%y)*n
所以一定存在n|(a%b)
综上，a,b的公约数集一定等于b,a%b的公约数集
所以gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

所以，我们只需要不断的让a=b，b=a%b直到b=0，这时a，b的最大公约数就是a
代码：

ll gcd(ll x,ll y){
	if(!y)return x;
	else return gcd(y,x%y);
} 

质数筛法/线性筛

普通筛法：假如我们找到一个质数，就把所有他的倍数标记成合数，这样我们扫描到没有标记过的数时，就是质数

代码：

ll P[MAXN],cnt,n;
bool tag[MAXN];
void getP(){
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!tag[i]){//没有标记 
			P[++cnt]=i;//存下质数 
			for(int j=i;j<=n;j+=i){
				tag[j]=true;
			}
		}
	}
} 

这个时间复杂度已经比较优秀了，但我们还可以考虑优化
考虑这个算法的复杂度浪费在什么地方，很明显，一个合数每有一个质因子，他就会被标记一遍
例如：12=223，在扫描到2的时候被标记了一边，在3的时候又被标记了一遍
既然对于每一个质因子都会被扫描一边，那我们规定：每个合数只能被自己的最小质因子标记
这样，每个数就只会被标记一遍了
考虑实现：
我们定义一个s数组，s(i)表示i的最小质因子，分类讨论：
1.\(s(i)=0\) 即在前面的扫描中没有找到这个数的质数，那么\(s(i)=i,i\in P\)
2.\(s(i)\neq0\)，i不是质数
找到s(i)后，我们枚举所有小于s(i)的数P(j)，我们令s(i*P(j))=j
为什么是对的呢，我们知道\(i*P(j)\)的质因数要么是i的质因数要么是P(j)，i不存在比s(i)更小的质因数，所以\(i*P(j)\)的最小质因数一定是P(j)

代码：

for(int i=2;i<=n;i++){
	if(!s[i]){
		P[++cnt]=i;
		s[i]=cnt;
	}
	for(int j=1;j<=s[i];j++){
		if(P[j]*i>n)break;
		s[i*P[j]]=j;
	}
}

逆元求解/线性同余方程组

欧拉定理

定义：我们定义欧拉函数\(\phi(x)\)为所有小于x的与x互质的数的个数

欧拉函数求解

我们将x分解质因数\(x=P_1^{c_1}*P_2^{c_2}...*P_n^{c_n}\)
那么就有\(\phi(x)=x*(1-\frac{1}{P_1})*(1-\frac{1}{P_2})...*(1-\frac{1}{P_n})\)
证明