KMP算法

KMP模板

KMP算法简介

KMP是一种支持单模式匹配的字符串匹配算法（说人话：匹配一个字符串是否在另一个字符串中出现

暴力解法

我们可以考虑O(n^2)的暴力算法
假如我们要在字符串a中匹配字符串b
枚举a字符串的每一个字符后|b|个字符，O(|b|）的时间复杂度判断是否与b重合

考虑优化

为什么我们的复杂度如此之高
究其原因，对于a的每一个字符，我们都从头开始匹配b串，我们可以进行剪枝，当我们找到一个字符不匹配后，我们可以直接取匹配下一个位置，这个剪枝效果很明显，但会出现一中情况让复杂度退化到O(|b|)
a串:aaaaaaaaa
b串:aaaaab
我们可以手模一下，对于a的每一位，我们都匹配了|b-1|次
手摸以后我们就能很明显的发现，b串的aaaaa这个子串被反复匹配了，这里我们发现：

在上一次匹配中我们匹配了黄色部分，匹配失败后，下一位的红色部分和上一位完全一样，被重复匹配，就加大了时间复杂度
我们可以对b串预处理一个nxt数组，我们用\(nxt_i\)表示b串前i个字符最长的相同的前缀和后缀，可以看下图理解
此时，我们b串前五个字符中的aba即是前缀又是后缀，那么b串的\(nxt_5\)就等于3
这有什么用呢，假如我们匹配时匹配到了b串的第五位，我们在下一位匹配时可以直接从\(nxt_5\)即第3位开始匹配
我们再次考虑复杂度，当我们处理完nxt数组后，我们只需要从1到|a|匹配一次a串就行了，具体而言，对于每一位串有两种情况
假如我们的a串匹配到第i位，b串匹配到第p位

1. \(a_{i+1} = b{p+1}\)我们让i和p都后移一位
2. \(a_{i+1} \not= b_{p+1}\)我们让p移到\(nxt_p\)然后重复判断情况1，如果不匹配，就接着往后跳
   这样，我们的时间复杂度就是O(|a|) 的

nxt数组的求解

假如我们现在考虑到b串的第i位，前i-1位的nxt数组已经求解完毕
其实我们可以像匹配时一样，由nxt数组定义可得

\[b_1-b_{nxt_{i-1}}=b_{i-nxt_{i-1}}-b_i \]

所以我们求解nxt数组的过程可以类比匹配，我们定义变量p=i-1

1. \(b_{p+1}=b_i\)这时候nxt_i就等于 p+1
2. \(b_{p+1} \not= b_i\)，让p=nxt_p
   直到p==0时我们匹配不到，就返回0，否则我们一定匹配过nxt_i了
   模板代码：

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define MAXN 1000010
inline ll read(){
	ll x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){
		if(c=='-')f=-1;
		c=getchar();
	}
	while(c>='0'&&c<='9'){
		x=x*10+c-'0';
		c=getchar();
	}
	return x*f;
}
char s1[MAXN],s2[MAXN];
ll nxt[MAXN];
ll len1,len2,now;
vector <ll> vec;
int main(){
	cin>>(s1+1)>>(s2+1);
	len1=strlen(s1+1),len2=strlen(s2+1);
//	cout<<len1<<" "<<len2<<endl;
//	cout<<(s1+1)<<" "<<(s2+1)<<endl;
	for(int i=2;i<=len2;i++){
		ll p=nxt[i-1];
		while(p&&s2[p+1]!=s2[i])p=nxt[p];
		nxt[i]=(s2[p+1]==s2[i]?p+1:0);
	}
	for(int i=1;i<=len1;i++){
		while(now&&s2[now+1]!=s1[i])now=nxt[now];
		now=(s2[now+1]==s1[i]?now+1:0);
		if(now==len2)vec.push_back(i-len2+1),now=nxt[now];
	}
	for(int i=0;i<vec.size();i++)cout<<vec[i]<<endl;
	for(int i=1;i<=len2;i++)cout<<nxt[i]<<" ";
	return 0;
}