第15章 积分

1.1-100求和

考虑求和

$\sum\limits_{j = 1}^{n}j$

首先展开这个求和：

$\sum\limits_{j = 1}^{n}j = 1+2+3+...+98+99+100$

另一个求和：

$\sum\limits_{j = 1}^{n}(101-j)$.

展开：

$\sum\limits_{j = 1}^{n}(101-j) = 100+99+98+...+3+2+1$.

所以上述两个求和结果一样。

令$S = \sum\limits_{j = 1}^{n}j$和$S = \sum\limits_{j = 1}^{n}(101-j)$

两个求和加起来：

$2S = \sum\limits_{j = 1}^{n}j + \sum\limits_{j = 1}^{n}(101-j)$.

合并：

$2S =  \sum\limits_{j = 1}^{n}(j +(101-j)) =  \sum\limits_{j = 1}^{n}101$

所以$2S = 101 * 100 = 10100$也就是$S = 5050$

2.伸缩求和法

例子：

$ \sum\limits_{j = 1}^{5}(j^2-(j-1)^2)$

完全扩展后：

$ \sum\limits_{j = 1}^{5}(j^2-(j-1)^2) = (1^2 - 0^2) + (2^2 - 1^2) + (3^2 - 2^2) + (4^2 - 3^2) + (5^2 - 4^2)$

 消元：

$ \sum\limits_{j = 1}^{5}(j^2-(j-1)^2) = 5^2 - 0^2$

这种类型的级数叫做伸缩级数，原求和式子被完全扩展后会变长，但是通过消元以后又变短，一长一短，也就是一伸一缩，不仅仅像老式的小望远镜哈哈,其他的物体也可以一伸一缩。

公式：

$ \sum\limits_{j = a}^{b}(f(j)-f(j-1)) = f(b) - f(a-1)$

3.1-n求和公式

$ \sum\limits_{j = 1}^{n}(j^2 - (j-1)^2) $

这个也是个伸缩求和：

$ \sum\limits_{j = 1}^{n}(j^2 - (j-1)^2) = n^2 - (1-1)^2 = n^2 $

另一方面对$j^2-(j-1)^2$化简得到$2j-1$,所以：

$\sum\limits_{j = 1}^{n}(2j-1) = n^2$

再做分解：

$\sum\limits_{j = 1}^{n}(2j)  - \sum\limits_{j = 1}^{n}(1)= n^2$

$2\sum\limits_{j = 1}^{n}(j)  - \sum\limits_{j = 1}^{n}(1)= n^2$

$2\sum\limits_{j = 1}^{n}(j)  = n^2 + \sum\limits_{j = 1}^{n}(1)$

$\sum\limits_{j = 1}^{n}(j)  = \frac{1}{2}(n^2 + \sum\limits_{j = 1}^{n}(1))$

$\sum\limits_{j = 1}^{n}(j)  = \frac{1}{2}(n^2 + n)$

$\sum\limits_{j = 1}^{n}(j)  = \frac{n(n+1)}{2}$

4.$1^2+2^2+....+(n-1)^2+n^2$求和

$ \sum\limits_{j = 1}^{n}(j^3 - (j-1)^3) = n^3 - (1-1)^3 = n^3 $

对$j^3 - (j - 1)^3$化简：

$j^3 - (j^3-3j^2+3j-1)$

$3j^2-3j+1$

所以有：

$ \sum\limits_{j = 1}^{n}(3j^2-3j+1) =  n^3 $

再做分解：

$ \sum\limits_{j = 1}^{n}(3j^2)-\sum\limits_{j = 1}^{n}(3j)+\sum\limits_{j = 1}^{n}1 =  n^3 $

$ 3\sum\limits_{j = 1}^{n}(j^2) = n^3 + 3\sum\limits_{j = 1}^{n}(j)-\sum\limits_{j = 1}^{n}1$

$ \sum\limits_{j = 1}^{n}(j^2) = \frac{1}{3} (n^3 + 3\sum\limits_{j = 1}^{n}(j)-\sum\limits_{j = 1}^{n}1)$

$ \sum\limits_{j = 1}^{n}(j^2) = \frac{1}{3} (n^3 + \frac{3n(n+1)}{2}-n)$

$ \sum\limits_{j = 1}^{n}(j^2) = \frac{1}{3} (\frac{2n^3 + 3n(n+1)-2n}{2})$

 $ \sum\limits_{j = 1}^{n}(j^2) = (\frac{2n^3 + 3n(n+1)-2n}{6})$

 $ \sum\limits_{j = 1}^{n}(j^2) = (\frac{2n^3 + 3n(n+1)-2n}{6})$

 $ \sum\limits_{j = 1}^{n}(j^2) = (\frac{2n^3 + 3n^2+3n-2n}{6})$

 $ \sum\limits_{j = 1}^{n}(j^2) = (\frac{2n^3 + 3n^2+n}{6})$

 $ \sum\limits_{j = 1}^{n}(j^2) = (\frac{n(2n^2 + 3n+1)}{6})$

 $ \sum\limits_{j = 1}^{n}(j^2) = \frac{n(n + 1)(2n+1)}{6}$