cdq实现斜率优化代码（带注释）

因为博主蒟蒻的原因， 在第一次写cdq实现斜率优化用了快一天的时间才把代码改对， 所以写一篇博客记录一下写法以及算法的基本实现思路。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define MAXN 100000

struct cdq_node {//斜率优化的基本形式：y = kx + b
	int loc;
	long long x, k;
	long long constant;//即是上式中的b
	long long y;
}s_cdq[MAXN + 5], tem[MAXN + 5];
long long dp[MAXN + 5];//转移的dp值
int q[MAXN + 5];

bool cmp (cdq_node a, cdq_node b) {//最开始按照k排序， 以达到O(nlogn)时间
	return a.k < b.k;
}
double slope (cdq_node a, cdq_node b) {//斜率， 由于转为乘法会出现因正负变不等号方向的问题， 而c++的高精还是挺准的， 所以还是使用除法
	return 1.0 * (a.y - b.y) / (a.x - b.x);
}
long long level (cdq_node a, cdq_node b) {//算出a对b的贡献与a有关的部分
	return a.y - a.x * b.k;
}
void transfer (int l, int mid, int r) {//将左区间的状态转移到右区间中
	int h = 1, t = 0;
	//以左区间构建凸包
	for (int e = l; e <= mid; e ++) {
		if (e != l && s_cdq[e].x == tem[e - 1].x) {
			continue;
		}
		while (t > h && slope (s_cdq[q[t]], s_cdq[e]) <= slope (s_cdq[q[t - 1]], s_cdq[q[t]])) {
			t --;
		}
		q[++ t] = e;
	}
	//向右区间进行转移
	for (int e = mid + 1; e <= r; e ++) {
		while (h < t && level (s_cdq[q[h]], s_cdq[e]) >= level (s_cdq[q[h + 1]], s_cdq[e])) {
			h ++;
		}
		if (level (s_cdq[q[h]], s_cdq[e]) + s_cdq[e].constant < dp[s_cdq[e].loc]) {
			dp[s_cdq[e].loc] = level (s_cdq[q[h]], s_cdq[e]) + s_cdq[e].constant;
		}
	}
}
//将按照k排序的两个区间裂成位置在mid左和右的两部分， 因为要保证右区间按照k递增， 而左区间会先进行递归， 返回时归并排序就可以使其顺序正确， 所以用分裂的方法， 使未使用超过O(1)的数据结构时总时间为O(nlogn)
void split (int l, int r, int mid) {
	int i = l, j = mid + 1;
	
	for (int e = l; e <= r; e ++) {
		if (s_cdq[e].loc <= mid) {
			tem[i ++] = s_cdq[e];
		}
		else {
			tem[j ++] = s_cdq[e];
		}
	}
	for (int e = l; e <= r; e ++) {
		s_cdq[e] = tem[e];
	}
}
//cdq中的归并， 无需过多解释
void merge (int l, int mid, int r) {
	int i = l, j = mid + 1;
	int k = l;
	
	while (i <= mid && j <= r) {
		if (s_cdq[i].x < s_cdq[j].x || (s_cdq[i].x == s_cdq[j].x && s_cdq[i].y < s_cdq[j].y)) {
			tem[k ++] = s_cdq[i ++];
		}
		else {
			tem[k ++] = s_cdq[j ++];
		}
	}
	while (i <= mid) {
		tem[k ++] = s_cdq[i ++];
	}
	while (j <= r) {
		tem[k ++] = s_cdq[j ++];
	}
	for (int e = l; e <= r; e ++) {
		s_cdq[e] = tem[e];
	}
}
//整体拼接起来
void cdq (int l, int r) {
	if (l == r) {
		...//这里需要计算x, y 中与dp有关的项的值，此时这两项并未参与到转移， 而dp值由于不会从右往左转移， 所以此时也是求出准确答案的了
		return ;
	}
	
	int mid = (l + r) >> 1;
	//按照顺序执行操作
	split (l, r, mid);//先归并左边的区间， 因为右边的区间并不能向左转移， 所以先向下递归， 进行区间内的转移
	cdq (l, mid);//由于左区间会影响右区间， 所以转移左区间到右区间后再进行右区间内的转移
	transfer (l, mid, r);
	cdq (mid + 1, r);
	merge (l, mid, r);
}

int main () {
	...//输入等一系列初始化。
	dp[...] = ...;//将初始位置附上初值
	for (int i = /*1或0， 视情况而定*/; i <= n; i ++) {
		//将与dp无关的量先求出
		s_cdq[i].loc = i;
		s_cdq[i].constant = ...;
		s_cdq[i].k = ...;
		s_cdq[i].x = ...;
		s_cdq[i].y = ...;
	}
	sort (s_cdq + 1, s_cdq + 1 + n, cmp);//按照k排序后在进行cdq
	cdq (1, n);
	...//之后对dp值的处理与输出
}