复习大纲

一、图论（最核心）

算法	用途	关键点
Dijkstra（堆优化）	单源非负权最短路	priority_queue，dist 初始化 INF，松弛时更新
SPFA（队列优化 Bellman-Ford）	含负权（判负环）	cnt[] 记录入队次数，判负环用 cnt[v] >= n
Floyd	全源最短路（n≤500）	三重循环，dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k][j])
Kruskal	最小生成树（MST）	按边权排序，并查集合并，统计边数
Prim（堆优化）	稠密图 MST	类似 Dijkstra，用 vis[] 标记
Tarjan 缩点（有向图 SCC）	强连通分量	dfn[], low[], 栈，缩点后建 DAG
Tarjan 割点 / 桥（无向图）	无向图连通性	割点：low[to] >= dfn[x]；桥：low[to] > dfn[x]
LCA（倍增）	树上两点最近公共祖先	预处理 fa[i][j]，按深度跳，统一跳
LCA（树剖）	同上，常数略小	轻重链剖分，top[] 跳跃
树链剖分（轻重链）	路径修改 / 查询 + 子树操作	两次 DFS 求 size, son, top, dfn，配合线段树
二分图判定（染色法）	判断是否为二分图	BFS/DFS 染色，相邻异色
二分图最大匹配（匈牙利）	增广路算法	vis[] 标记，递归 match[]
最大流（Dinic）	网络流	bfs 分层，dfs 多路增广，当前弧优化
费用流（MCMF）	最小费用最大流	SPFA 或 Dijkstra（势函数）找增广路

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二、数据结构

算法	用途	关键点
并查集	连通性，带权并查集	路径压缩 + 按秩合并，维护关系（如距离）
树状数组（BIT）	单点修改 + 区间查询 / 区间修改 + 单点查询	lowbit，两个 BIT 实现区间加区间和
线段树	区间最值 / 区间和，带 lazy 标记	递归或迭代，注意 pushdown
可持久化线段树（主席树）	静态区间第 k 小	每次插入新建 logN 个节点
平衡树（Treap / Splay）	动态排名，前驱后继	旋转或非旋（FHQ Treap）
ST 表	静态区间最值（RMQ）	f[i][j] 预处理，查询取 log
单调队列 / 单调栈	滑动窗口最值，单调性问题	双端队列维护单调性
堆（优先队列）	动态最值，Dijkstra 等	默认大根堆，小根堆 greater
哈希（双模数）	字符串匹配 / 判重	自然溢出或取模，冲突尽量小

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三、字符串算法

算法	用途	关键点
KMP	单模式串匹配，求 next 数组	next[i] 表示最长相等前后缀
扩展 KMP（Z 函数）	求每个后缀与串本身的 LCP	线性计算 z[i]
Manacher	最长回文子串（O(n)）	维护中心扩展半径
AC 自动机	多模式串匹配（字典树 + fail 指针）	fail 树，结合 DP
后缀数组（SA）	后缀排序，求 height 数组	倍增 + 基数排序
后缀自动机（SAM）	子串相关统计	每次插入字符，维护 len, link, next
哈希 + 二分	求 LCP，判断子串相等	预处理前缀哈希，二分长度

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四、数学与数论

算法	用途	关键点
快速幂	幂运算（含取模）	二进制拆分
矩阵快速幂	线性递推（如斐波那契）	矩阵乘法，注意单位矩阵
GCD / 扩展欧几里得	求逆元，解同余方程	exgcd 返回 gcd 及一组解
线性筛（欧拉筛）	求素数，欧拉函数，莫比乌斯函数	每个数只被最小质因子筛一次
逆元（费马小定理 / 扩欧）	模意义下的除法	模数为素数用 pow(a, mod-2)
组合数（预处理阶乘 + 逆元）	大组合数取模	C(n,m)=fac[n]*invfac[m]*invfac[n-m]
卢卡斯定理	大模数（素数）下的组合数	C(n,m) = C(n%p, m%p) * C(n/p, m/p)
中国剩余定理（CRT）	同余方程组求解	两两合并
高斯消元	解线性方程组（实数 / 异或）	消元成上三角，回代
线性基（异或）	求最大异或和，判断异或表示	插入维护高位，贪心求最大
莫比乌斯反演	数论函数求和	预处理 mu，整除分块优化
杜教筛	快速求积性函数前缀和	记忆化递归，构造 g 函数

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五、动态规划优化

优化技巧	适用场景	关键点
单调队列优化	DP 转移中与窗口最值相关	维护队列，弹出不优状态
斜率优化（凸包）	DP 形如 dp[i]=min(dp[j]+a[i]*b[j]+c[j])	维护下凸壳，用单调队列或二分
四边形不等式优化	区间 DP 满足四边形不等式	决策点单调，缩小枚举范围
滚动数组	只依赖前几层状态	用 % 或翻转
状态压缩（状压 DP）	n ≤ 20 的集合问题	枚举子集 for(int s=0; s<1<<n; ++s)
数位 DP	统计满足条件的数字个数	记忆化搜索，按位处理，状态记录是否顶界
树形 DP	树上依赖背包 / 最大独立集等	后序遍历，合并子树信息

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六、计算几何（常考基础）

算法	用途	关键点
向量叉积	判断方向，面积，点线关系	cross(a,b) = a.x*b.y - a.y*b.x
凸包（Graham 扫描）	求点集凸包	极角排序，单调栈维护左转
旋转卡壳	凸包直径（最远点对）	利用对踵点，双指针
半平面交	求多边形的交集（凸多边形）	排序 + 双端队列
圆相关（交点，切线）	几何模板题	注意精度，用 double

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七、其他常用技巧

技巧	用途	关键点
二分答案	最大值最小 / 最小值最大	单调性判断，贪心或模拟验证
三分法	单峰函数求极值	整数或实数，比较 mid 与 mid+1
分块（莫队）	离线区间询问	分块排序，暴力移动指针，注意复杂度
CDQ 分治	离线解决三维偏序 / 动态 DP	分治处理左边对右边的影响
整体二分	同时处理多个询问的答案	值域分治，数据结构维护
哈希表（手写）	快速查找，代替 map	链式前向星存冲突
离散化	将大数值映射到紧凑区间	sort + unique + lower_bound