LCP 13. 寻宝
题意
我们得到了一副藏宝图，藏宝图显示，在一个迷宫中存在着未被世人发现的宝藏。
迷宫是一个二维矩阵，用一个字符串数组表示。它标识了唯一的入口（用 'S' 表示），和唯一的宝藏地点（用 'T' 表示）。但是，宝藏被一些隐蔽的机关保护了起来。在地图上有若干个机关点（用 'M' 表示），只有所有机关均被触发，才可以拿到宝藏。
要保持机关的触发，需要把一个重石放在上面。迷宫中有若干个石堆（用 'O' 表示），每个石堆都有无限个足够触发机关的重石。但是由于石头太重，我们一次只能搬一个石头到指定地点。
迷宫中同样有一些墙壁（用 '#' 表示），我们不能走入墙壁。剩余的都是可随意通行的点（用 '.' 表示）。石堆、机关、起点和终点（无论是否能拿到宝藏）也是可以通行的。
我们每步可以选择向上/向下/向左/向右移动一格，并且不能移出迷宫。搬起石头和放下石头不算步数。那么，从起点开始，我们最少需要多少步才能最后拿到宝藏呢？如果无法拿到宝藏，返回 -1 。
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/xun-bao/
解题思路
从S走到T的条件是所有的M必须全部走完，那么我们只需要预处理出从S到任意M，从M到任意M的，从M到T的符合题意的最短路径即可。由于第一步一定是从S到O，第二步是从O到M；第三步是从M到O或者M到T，那么我们可以先通过Bfs算出从S到O，从O到M，从M到T的最短路径。在根据floylad算法计算出从M经过O达到M的最短路径即可。
在预处理操作后，我们可以通过求哈密顿路径得到从S出发经过所有M达到T的最短路径。
代码
struct Point{
int x,y;
};
bool vis[110][110];
int dist[110][110];
int distS[50],distT[50],distM[50][50],distMM[20][20];
int dp[65540][20];
int dx[4]={0,0,1,-1},dy[4]={1,-1,0,0};
const int INF=0x3f3f3f3f; //数会很大
//返回从st出发到maze中其余各点的最短距离
void Bfs(Point st,int m,int n,vector<string>& maze)
{
queue<Point>q;
memset(dist,INF,sizeof(dist));
memset(vis,0,sizeof(vis));
vis[st.x][st.y]=1;
dist[st.x][st.y]=0;
q.push(st);
while(!q.empty())
{
Point t=q.front();
q.pop();
int x=t.x,y=t.y;
for(int i=0;i<4;i++)
{
int xx=x+dx[i],yy=y+dy[i];
if(xx>=0&&xx<m&&yy>=0&&yy<n&&maze[xx][yy]!='#'&&!vis[xx][yy]){
dist[xx][yy]=dist[x][y]+1;
q.push((Point){xx,yy});
vis[xx][yy]=1;
}
}
}
}
int minimalSteps(vector<string>& maze) {
int m=maze.size(),n=maze[0].size();
Point S,T,puzzle[16*16],stone[16*16];
int p=0,s=0;
for(int i=0;i<m;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(maze[i][j]=='S') S=(Point){i,j};
if(maze[i][j]=='T') T=(Point){i,j};
if(maze[i][j]=='M') puzzle[p++]=(Point){i,j};
if(maze[i][j]=='O') stone[s++]=(Point){i,j};
}
}
Bfs(S,m,n,maze);
if(p==0) return dist[T.x][T.y]==INF?-1:dist[T.x][T.y];
//从S到O的距离
memset(distT,INF,sizeof(distT));
memset(distS,INF,sizeof(distS));
memset(distM,INF,sizeof(distM));
memset(distMM,INF,sizeof(distMM));
memset(dp,INF,sizeof(dp));
for(int i=0;i<s;i++)
distS[i]=dist[stone[i].x][stone[i].y];
Bfs(T,m,n,maze);
//从T到M的距离
for(int i=0;i<p;i++)
distT[i]=dist[puzzle[i].x][puzzle[i].y];
for(int i=0;i<p;i++)
{
//cout<<puzzle[i].x<<" "<<puzzle[i].y<<endl;
Bfs(puzzle[i],m,n,maze);
for(int j=0;j<s;j++){
//cout<<dist[stone[i].x][stone[i].y]<<" sss"<<endl;
distM[i][j]=dist[stone[j].x][stone[j].y];
}
}
//初始化dp数组，从S经过O达到各个M的距离 dp[mask][i]
for(int i=0;i<p;i++)
{
int index=(1<<i),tp=1e9+7;
for(int j=0;j<s;j++){
if(tp>distS[j]+distM[i][j]) tp=distS[j]+distM[i][j];
}
dp[index][i]=tp;
}
//初始化从M到M经过O的最短距离
for(int i=0;i<p;i++)
{
for(int j=0;j<p;j++)
{
if(i==j){
distMM[i][j]=0;
continue;
}
for(int k=0;k<s;k++)
{
distMM[i][j]=min(distMM[i][j],distM[i][k]+distM[j][k]);
}
}
}
/*for(int i=0;i<p;i++)
{
for(int j=0;j<p;j++)
cout<<distMM[i][j]<<" ";
cout<<endl;
}*/
//状压dp，同旅行商问题
for(int mask=0;mask<(1<<p);mask++)
{
for(int i=0;i<p;i++)
{
if((1<<i)&mask) //如果i已经在mask状态中
{
for(int j=0;j<p;j++)
{
if(j!=i&&((1<<j)&mask))
{
dp[mask][i]=min(dp[mask][i],dp[mask-(1<<i)][j]+distMM[j][i]);
}
}
}
}
}
int state=(1<<p)-1;
int ans=INF;
for(int i=0;i<p;i++)
ans=min(ans,dp[state][i]+distT[i]);
if(ans==INF)
return -1;
return ans;
}
