欧几里得算法证明

求证：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

a,b的最大公约数，就是b,a%b的最大公约数。

 

第一步求证：

公约数cd（common divisor）cd(a,b)=cd(b,a%b)

 

设a>b 则a=kb+r (k是整数，r=a%b) (1)式

设d是a,b的公约数，也就是d能被a整除，也能被b整除。

(1)式除所d 得：a/d=kb/d+r/d    

因为a/d 和kb/d是整数，所以r/d也是整数，

所以d也是r的约数，所以d也是b,r的公约数。

所以a,b的公约数集合就是 b,a%b的公约数的集合。

cd(a,b)=cd(b,a%b)

第二步求证：

最大公约数gcd（greatest common divisor）gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

因为：cd(a,b)=cd(b,a%b)

所以：max{cd(a,b)}=max{gcd(b,a%b)}

所以：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

 

第三步结论：

因为：b=0时gcd(a,b)=a

所以：得到递归式：

gcd(a,b)=a          (b==0)

gcd(a,b)=gcd(b,a%b)  (b!=0)

 

扩展欧几里得证明：
https://www.zybuluo.com/samzhang/note/541890