以“采药”为例谈剪枝

1746: 【NOIP05普及组】采药

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。” 如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入：
第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出：
一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

输入样例：

70 3
71 100
69 1
1 2

输出样例：

3

分析：M种药，每种药有各自的耗时和价值，要求在T时间内，采一些药使得总价值最大。

我们用01串表达采药的方案。以三种药为例：

111 表示 第1、2、3种药都采；

110表示 采第1、2种药第三种药不采；

……

3种药总共有8种方案：

000

001

010

011

100

101

110

111

我们可以在总耗时小于T的那些方案中，寻找价值和最大的方案。

首先我们来写一个代码产生表示方案的01串。

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[101];
void dfs(int dep){
   if(dep>n){
       for (int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i];
       cout<<endl;
   }
   else{
                a[dep]=1;
                dfs(dep+1);
                a[dep]=0;
                dfs(dep+1);
    }
}

int main(){
   cin>>n;
   dfs(1);
   return 0 ; 

    return 0;
}

改进一下代码：

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[101];
void dfs(int dep){
   if(dep>n){
       for (int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i];
       cout<<endl;
   }
   else{
        for(int i=0;i<=1;i++){
              a[dep]=1-i;
                dfs(dep+1);
            }
    }
}

int main(){
   cin>>n;
   dfs(1);
   return 0 ; 

}

方案形成后，打擂台记录最大价值

//  http://www.jzoj.cn/problem.php?id=1746  
// 20%
 
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[101];
int W,w[101],v[101],maxv;

void dfs(int dep){
   if(dep>n) //方案处理，计算这个方案的总重量和总价值 
   {
           int tw=0,tv=0; 
           for (int i=1;i<=n;i++) {
           tw+=a[i]*w[i];
              tv+=a[i]*v[i];
          }
        if(tw<=W && tv>maxv) {
            maxv=tv;
        }
   } 
   else{
        for(int i=0;i<=1;i++){
              a[dep]=1-i;
                dfs(dep+1);
            }

    }
}

int main(){
   cin>>W>>n;
   for(int i=1; i<=n; i++)  cin>>w[i]>>v[i];
   dfs(1);
   cout<<maxv<<endl; 
   return 0 ; 

}

改进代码，我们在方案产生时，记录总耗时和总价值：

//  http://www.jzoj.cn/problem.php?id=1746  
// 25%

# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[101];
int W,w[101],v[101],maxv;
int tw,tv;

void dfs(int dep){
   if(dep>n) //方案处理，计算这个方案的总重量和总价值 
   {
      if(tv>maxv) maxv=tv;    
   } 
   else{
        for(int i=0;i<=1;i++){
              a[dep]=1-i;
              if(tw+a[dep]*w[dep]<=W){
                  tw+=a[dep]*w[dep];
                tv+=a[dep]*v[dep];
                dfs(dep+1);
                tw-=a[dep]*w[dep];
                tv-=a[dep]*v[dep];
              }
            }

    }
}

int main(){
   cin>>W>>n;
   for(int i=1;i<=n;i++)  cin>>w[i]>>v[i];   
   dfs(1);
   cout<<maxv<<endl; 
   return 0 ; 

}

有些方案还没形成时我们就知道不可能有更优解了，来一次剪枝：

//  http://www.jzoj.cn/problem.php?id=1746  
// 30%
# include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[101];
int W,w[101],v[101],maxv;
int tw,tv;

int rest(int dep) //记录剩余药草的总价值 
{
    int s=0;
    for(int i=dep;i<=n;i++) s+=v[i];
    return s;
}

void dfs(int dep){
   if(dep>n) //方案处理，计算这个方案的总重量和总价值 
   {
      if(tv>maxv) maxv=tv;    
   } 
   else{
        for(int i=0;i<=1;i++){
              a[dep]=1-i;
              if(tw+a[dep]*w[dep]<=W && tv+a[dep]*v[dep]+rest(dep+1)>maxv  ){
                  tw+=a[dep]*w[dep];
                tv+=a[dep]*v[dep];
                dfs(dep+1);
                tw-=a[dep]*w[dep];
                tv-=a[dep]*v[dep];
              }
            }

    }
}

int main(){
   cin>>W>>n;
   for(int i=1;i<=n;i++)   cin>>w[i]>>v[i];
   
   dfs(1);
   cout<<maxv<<endl; 
   return 0 ; 


}

最后还是解决不了，M过大的问题，终结方法DP：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,m,w[105],v[105],f[105][1005];
int main()
{
  cin>>t>>m;
  for(int i=1; i<=m; i++)
    cin>>w[i]>>v[i];
  for(int i=1; i<=m; i++)
  {
    for(int j=t; j>=0; j--)
    {
      if(j>=w[i])
        f[i][j]=max(f[i-1][j-w[i]]+v[i],f[i-1][j]);
      else f[i][j]=f[i-1][j];
    }
  }
  cout<<f[m][t];
}