洛谷CF264D Colorful Stones(子序列匹配,思维)

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神仙思维题。

对于两个字符串的匹配问题,似乎之前蒟蒻写的HAOI2010最长公共子序列题解中提到的建网格图模型是一种套路?

给一个稍微强一点的样例(把字母换成了ABC)

AABCB
BACBA

它所对应的网格图如下(横轴代表\(s\),纵轴代表\(t\),显示的点表示可达状态)

我们首先可以大致确定,所有的可达状态在一个不规则图形的界内
(红色线条)。第\(i\)行(或列)的界是\([l_i,r_i]\),而且类似two pointers,\(l_i\)\(r_i\)都随\(i\)单调不降。拐角的顶点\((x,y)\)出现在前缀\(s_x\)和前缀\(t_y\)第一次匹配到其中一个是另一个的子序列的地方。

那么是不是这个界里面的状态都可达呢?显然不是,我们还可以看到这样的位置(中间有三个):如果\(s_x=t_{y-1}\neq s_{x-1}=t_y\)的话,\((x,y)\)也会不可达。对应的两个子串形如ABBA,蒟蒻接下来把该状态记作AB-BA。

仔细观察一下(或者打个表),除了这种情况,还有没有别的情况也是在界内却不可达的?貌似找不到啊。。。。。。

实际上,我们大概可以证明,在这个界内有且仅有AB-BA状态不可达。

图中的若干有向边从前驱节点指向后继节点。显然如果一个状态不可达,那么要么它没有前驱,要么它的所有前驱都不可达。

首先,一个节点没有前驱的情况就只有AB-BA那一种。当\(s_x=t_y\)时,我们可以肯定\((x,y)\)有前驱,随手画画就可以发现。

于是现在我们就需要证明,如果一个点不可达,那么它一定没有前驱,而不会出现它有前驱且前驱不可达。反证法,我们现在开始判定一个在界内的有前驱的节点\((x,y)\),并假设它和它的前驱都不可达。

  1. 它的前驱中有一个是\((x-1,y-1)\)。刚刚已经得出\((x-1,y-1)\)有前驱,那么我们又需要假设\((x-1,y-1)\)的前驱不可达。
  2. 它的前驱中没有\((x-1,y-1)\)。则它的前驱可能有\((x-1,y)\)\((x,y-1)\)。如果\((x-1,y)\)有前驱,那么我们又需要假设\((x-1,y)\)的前驱不可达;如果\((x-1,y)\)没有前驱,那么说明出现了AB-BA状态,则一定会有\((x-1,y-1)\)\((x,y)\)的边,不符合设定。对\((x,y-1)\)的讨论同理。

于是,我们如果要假设某个点的所有前驱都不可达,我们必须假设它的某一个前驱的所有前驱都不可达,接着是前驱的前驱的前驱。。。。。。这个过程中\(x,y\)在递减,而最终\((x,y)\)到了边界上。显然边界上的点都是可达状态(从\((0,0)\)出发形成一条轮廓状路径),于是所有的假设都被推翻了。

思路清晰了以后,代码就简单了,只需要注意些细节。动态匹配子序列,维护\(l,r\),还有对不同的状态记前缀和,这些都没什么好说的了。

#include<bits/stdc++.h>
#define RG register
#define R RG int
using namespace std;
const int N=1e6+9;
char s[N],t[N];
int f[N][8];
int main(){
    R n=0,m=0,x,y,l=0,r=0;
    RG long long ans=0;
    scanf("%s%s",s,t);
    for(n=0;s[n];++n)s[n]%=3;//只是凑巧发现RBG%3的余数不一样
    for(m=0;t[m];++m)t[m]%=3;
    for(x=1;x<n;++x){
        memcpy(f[x],f[x-1],32);//前缀和
        if(s[x-1]!=s[x])
            ++f[x][(s[x-1]>s[x])*4+s[x-1]+s[x]];
    }
    memcpy(f[n],f[n-1],32);
    for(y=0;y<m;++y){
        if(y&&t[y-1]!=t[y]){//注意边界
            x=(t[y-1]<t[y])*4+t[y-1]+t[y];
            ans-=f[r][x]-f[l][x];
        }
        while(r<n&&s[r]!=t[y])++r;
        ans+=r-l+1-(r==n);//同样注意边界
        if(r<n)++r;
        if(l<r&&s[l]==t[y])++l;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}
posted @ 2018-09-28 15:35  Flash_Hu  阅读(475)  评论(0编辑  收藏  举报