算法导论: 练习 3.2-3

问题：Exercise 3.2-3: prove equation $log_{2}{n!}=\Theta(nlog_{2}n)$ . Also prove that $n!=w(2^{n})$ and $n!=o(n^{n})$ .

本文首先证明第三项，对于 $n!=o(n^{n})$ 要使其成立，则要求对任意的正常数c>0，存在一个n0使得当n>n0时有 $0\leq n!<cn^{n}$ 成立。即： $\frac{n!}{n^{n}}=\frac{(n-1)!}{n^{n-1}}<c$ ，由于0<=n，因此对任意常数c>0都满足此式。故得证。

对于第一项和第二项，则需要用到stirling近似公式： $n!=\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}(1+\Thate(\frac{1}{n}))$ 去证明了。

对于第二项，对任意的正常数c>0，存在一个n0使得当n>n0时有成立。即有，由该式可以看到，无论c能取多大，必然存在一个n0使得该式成立的。因此得证。

对于第一项，要求存在两个c1>0,c2>0，当n>n0有c1nlgn<=lgn!<=c2nlgn则可以得证。

由于则有：

，因此得证！！！

posted @ 2013-06-01 12:42 遥远的希望～bless 阅读(330) 评论(0) 收藏举报

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