时间复杂度

时间复杂度

时间频度 -> 时间复杂度

语句执行的次数就是时间频度T(n)

时间频度 T(n) 不同，但时间复杂度可能相同，如： T(n)=n²+7n+6与T(n)=3n²+2n+2它们的T(n)不同，但时间复杂度相同，都为O(n²)。

时间复杂度计算方法:

用常数1代替运行时间中的所有加法常数T(n)=n²+7n+6=>T(n)=n²+7n+1

修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项T(n)=n²+7n+1=>T(n)=n²

去除最高阶项的系数T(n)=n²=>T(n)=n²=>O(n²)

简单来说就是，常数项，低次项和高次项系数可以忽略

常见时间复杂度

1. 常数阶 O(1)

2. 对数阶 O(log2n)

3. 线性阶 O(n)

4. 线性对数阶 O(nlog2n)

5. 平方阶 O(n^2)

6. 立方阶 O(n^3)

7. k次方阶 O(n^k)

8)指数阶 O(2^n)

说明：

1） 常见的算法时间复杂度由小到大依次为：Ο(1)＜Ο(log2n)＜Ο(n)＜Ο(nlog2n)＜Ο(n2)＜Ο(n3)＜Ο(nk)＜Ο(2n)，随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低

2）应尽量避免使用指数阶的算法

常数阶

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)

int j = 1;
int i = 2;
++i;
j++;
int m = i + j;

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

对数阶O(log2n)

int i = 1;
while(i<n){
    i = i * 2
}

说明：在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n 也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n) 。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n)

如果 N = a^x (a>0,a!=1),即a的x次方等于N，那么数x就叫做以a为底N的对数，记作logaN。

其中,a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做“以a为底N的对数”

线性阶O(n)

for(i=1; i<=n; ++i){
    j = i;
    j++;
}

说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度

线性对数阶O(nlogN)

for(m=1; m<n; m++){
    i = 1;
    while(i<n){
        i = i * 2;
    }
}

说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

平方阶O(n^2)

for(x=1; i<=n; x++){
    for(i=1; i<=n; i++){
        j = 1;
        j++;
	}
}

说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n * n)，即 O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m * n)

立方阶O(n^{3)、k次方阶O(n}k)

说明：参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似

指数阶O(2^n)

用递归求斐波那契

fabonaqi(n) = fabonaqi(n-1) + fabonaqi(n-2)

说明：每次函数调用都会再往下调用2次递归，总共n次函数调用，则2 * 2 * 2 * 2... 2

快速求时间复杂度的方法：

1. 找到代码中执行次数最多的语句
2. 计算出对应的时间频度T(n)
3. 用大O表示法表示T(n)

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)