题解：P17521 天外来物

题意简述

有 \(n\) 颗水晶，每颗水晶有权值 \(a_i\)，取走一颗水晶时编号与它相邻的水晶的权值会变为原来的相反数。设计一种取水晶的顺序使得取走的权值最大。\(n\leq 2\times 10^5,-10^9\leq a_i\leq 10^9\)。

思路分析

观察样例可以发现基本都能取到绝对值之和。

容易得到当 \(n\) 与序列中负数个数的奇偶性相同时，至少取到一个负数；否则可以取所有正数。

证明

对于相邻两颗水晶 \(i,i+1\)，如果 \(i\) 比 \(i+1\) 更早取走，则定向为 \(i\to i+1\)；否则定向为 \(i+1\to i\)。

令 \(d_i\) 表示 \(i\) 的入度，即它旁边比它先取走的个数。采集它时，它被翻转了 \(d_i\) 次，所以最终取走的值为 \((-1)^{d_i}a_i\)。

每条边恰好贡献一个度数，所以 \(\sum d_i=n-1\)。

\(d_i\) 中奇数的个数为 \(k\equiv \sum d_i\equiv n-1\pmod 2\)。

如果我们希望全部取正，则需要满足：

• 对于 \(a_i<0\)，\(d_i\) 为奇数；
• 对于 \(a_i>0\)，\(d_i\) 为偶数。

所以 \(a_i\) 为负的地方应该满足 \(d_i=1\)，即 \(k\) 等于序列中的负数个数，即个数为 \(c\)。

只需要判断 \(c\equiv n-1\pmod 2\) 即可。结论成立。

代码实现

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2e5+5;
int T, n, a[N];
signed main(){
    cin >> T;
    while(T--){
        cin >> n;
        int cnt = 0, minn = 1e9; long long sum = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            cin >> a[i];
        sum += abs(a[i]), cnt += a[i] < 0, minn = min(minn, abs(a[i]));
        }
        if(n == 1) cout << a[1] << '\n';
        else if(((n - cnt) & 1) == 0) cout << sum - 2 * minn << '\n';
        else cout << sum << '\n';
    }
    return 0;
}

时间复杂度 \(O(n)\)。