CSP——S

CSP-S 初赛：概率与组合数

一、计数基本原理

1. 加法原理

分类计数，类与类互斥：
若完成一件事有 \(k\) 类方法，第 \(i\) 类有 \(n_i\) 种，则总数为

\[n_1+n_2+\cdots+n_k \]

2. 乘法原理

分步计数，步与步独立：
若完成一件事需要 \(k\) 步，第 \(i\) 步有 \(n_i\) 种，则总数为

\[n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k \]

3. 容斥原理

两集合：

\[|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]

三集合：

\[|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C| \]

一般形式：

\[\left|\bigcup_{i=1}^n A_i\right| = \sum |A_i|-\sum |A_i\cap A_j|+\sum |A_i\cap A_j\cap A_k|-\cdots+(-1)^{n-1}|A_1\cap\cdots\cap A_n| \]

4. 鸽巢原理

• 基本：\(n+1\) 个物品放入 \(n\) 个抽屉，至少一个抽屉有 2 个。
• 推广：\(kn+1\) 个物品放入 \(n\) 个抽屉，至少一个抽屉有 \(k+1\) 个。

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二、排列

排列与顺序有关。

1. 全排列

\(n\) 个不同元素全部排列：

\[A(n,n)=n! \]

规定：

\[0!=1 \]

2. 选排列

从 \(n\) 个不同元素中取 \(m\) 个排列：

\[A(n,m)=n(n-1)\cdots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!} \]

要求 \(m\le n\)。

3. 可重复排列

从 \(n\) 个不同元素中取 \(m\) 个，允许重复：

\[n^m \]

4. 圆排列

\(n\) 个不同元素围成一圈：

\[(n-1)! \]

若正反视为同一种，则：

\[\frac{(n-1)!}{2} \]

5. 多重集排列

若元素中有重复，例如 \(n_1\) 个 \(a_1\)，\(n_2\) 个 \(a_2\)，……，\(n_k\) 个 \(a_k\)，总数 \(n=n_1+\cdots+n_k\)，则排列数为：

\[\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!} \]

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三、组合

组合与顺序无关。

1. 组合数公式

从 \(n\) 个不同元素中取 \(m\) 个：

\[C(n,m)=\binom{n}{m}=\frac{A(n,m)}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

2. 边界

\[C(n,0)=C(n,n)=1 \]

若 \(m>n\) 或 \(m<0\)，则：

\[C(n,m)=0 \]

3. 基本性质

对称性：

\[C(n,m)=C(n,n-m) \]

递推式（杨辉三角）：

\[C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1) \]

4. 常见求和

\[\sum_{i=0}^n C(n,i)=2^n \]

\[\sum_{i=0}^n (-1)^i C(n,i)=0 \]

\[\sum_{i=0}^n C(n,i)^2=C(2n,n) \]

\[\sum_{i=m}^n C(i,m)=C(n+1,m+1) \]

5. 可重复组合

从 \(n\) 个不同元素中取 \(m\) 个，允许重复，不考虑顺序：

\[C(n+m-1,m) \]

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四、二项式定理

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C(n,k)a^{n-k}b^k \]

通项：

\[T_{k+1}=C(n,k)a^{n-k}b^k \]

常用结论：

• 令 \(a=b=1\)：

\[\sum_{k=0}^n C(n,k)=2^n \]

• 令 \(a=1,b=-1\)：

\[\sum_{k=0}^n (-1)^k C(n,k)=0 \]

因此 \(n\ge 1\) 时，奇数项系数和等于偶数项系数和：

\[2^{n-1} \]

注意：
\(C(n,k)\) 是二项式系数。若式子是 \((2x+1)^n\)，则 \(x^k\) 的系数是：

\[C(n,k)2^k \]

不要与二项式系数混淆。

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五、常见计数模型

1. 隔板法

方程：

\[x_1+x_2+\cdots+x_k=n \]

• 正整数解个数：

\[C(n-1,k-1) \]

• 非负整数解个数：

\[C(n+k-1,k-1) \]

若要求 \(x_i\ge a_i\)，先令 \(y_i=x_i-a_i\)，转化为非负整数解。

2. 捆绑法

要求某些元素必须相邻：
把它们看作一个整体，再与其余元素排列。

3. 插空法

要求某些元素不能相邻：
先排其他元素，再把指定元素插入空位。

4. 缩倍法

出现对称、旋转、翻转重复时，先算总数，再除以重复倍数。

5. 错排

\(n\) 个元素全部不在原位的排列数：

\[D(1)=0,\quad D(2)=1 \]

\[D(n)=(n-1)\bigl(D(n-1)+D(n-2)\bigr) \]

也可写为：

\[D(n)=n!\sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!} \]

常用值：

\[D(3)=2,\quad D(4)=9,\quad D(5)=44 \]

6. 卡特兰数

\[Cat(n)=\frac{C(2n,n)}{n+1}=C(2n,n)-C(2n,n+1) \]

递推：

\[Cat(0)=1 \]

\[Cat(n+1)=\sum_{i=0}^n Cat(i)Cat(n-i) \]

前几项：

\[1,1,2,5,14,42,132 \]

应用：

• 合法括号序列数
• 栈的合法进出序列数
• 不同二叉树形态数
• 不越过对角线的路径数

7. 容斥应用

常用于：

• 至少一个满足条件
• 错排问题
• 欧拉函数
• 有限制条件的排列组合

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六、概率基础

1. 古典概型

若样本空间 \(\Omega\) 中每个基本事件等可能：

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|} \]

2. 概率基本性质

\[0\le P(A)\le 1 \]

\[P(\Omega)=1,\quad P(\varnothing)=0 \]

对立事件：

\[P(\bar A)=1-P(A) \]

加法公式：

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

若 \(A,B\) 互斥：

\[P(A\cup B)=P(A)+P(B) \]

3. 条件概率

\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},\quad P(B)>0 \]

乘法公式：

\[P(A\cap B)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A) \]

4. 独立事件

若：

\[P(A\cap B)=P(A)P(B) \]

则 \(A,B\) 独立。
等价地，若 \(P(B)>0\)：

\[P(A|B)=P(A) \]

注意：

• 互斥：不能同时发生，\(P(A\cap B)=0\)。
• 独立：概率相乘，\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\)。
  两者不同。

5. 全概率公式

若 \(B_1,B_2,\dots,B_n\) 是完备事件组：

\[P(A)=\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A|B_i) \]

6. 贝叶斯公式

\[P(B_i|A)=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^n P(B_j)P(A|B_j)} \]

7. 几何概型

若结果落在某个区域内，且区域内均匀分布：

\[P(A)=\frac{A\text{ 的测度}}{\Omega\text{ 的测度}} \]

测度可以是长度、面积、体积。

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七、期望与方差

1. 期望

离散型随机变量 \(X\) 的期望：

\[E(X)=\sum_i x_i p_i \]

期望线性：

\[E(aX+b)=aE(X)+b \]

\[E(X+Y)=E(X)+E(Y) \]

注意：
\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) 永远成立，不要求独立。

若 \(X,Y\) 独立：

\[E(XY)=E(X)E(Y) \]

2. 方差

\[D(X)=E\bigl[(X-E(X))^2\bigr]=E(X^2)-[E(X)]^2 \]

性质：

\[D(aX+b)=a^2D(X) \]

标准差：

\[\sigma(X)=\sqrt{D(X)} \]

3. 常用分布

两点分布

\[P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p \]

\[E(X)=p,\quad D(X)=p(1-p) \]

二项分布

\[X\sim B(n,p) \]

\[P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^{n-k} \]

\[E(X)=np,\quad D(X)=np(1-p) \]

几何分布

若 \(X\) 为首次成功所需次数：

\[P(X=k)=(1-p)^{k-1}p \]

\[E(X)=\frac{1}{p},\quad D(X)=\frac{1-p}{p^2} \]

离散均匀分布

若 \(X\) 等可能地取 \(a,a+1,\dots,b\)：

\[E(X)=\frac{a+b}{2} \]

若共有 \(n=b-a+1\) 个取值：

\[D(X)=\frac{n^2-1}{12} \]

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八、典型例题

例 1：至少一个

5 男 3 女选 3 人，至少 1 女。
总数：

\[C(8,3)=56 \]

全男：

\[C(5,3)=10 \]

答案：

\[56-10=46 \]

例 2：多重集排列

单词 BANANA 的排列数。
字母：B 1 个，A 3 个，N 2 个，共 6 个：

\[\frac{6!}{1!3!2!}=60 \]

例 3：圆排列

5 人围圆桌，正反不区分：

\[\frac{(5-1)!}{2}=12 \]

例 4：错排

4 封信全部装错：

\[D(4)=9 \]

例 5：卡特兰数

\(n=3\) 的合法括号序列数：

\[Cat(3)=\frac{C(6,3)}{4}=5 \]

例 6：期望

掷一枚均匀骰子，\(X\) 为点数：

\[E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5 \]

例 7：几何分布

抛硬币直到正面，正面概率 \(p=0.5\)，期望次数：

\[E(X)=\frac{1}{0.5}=2 \]

例 8：二项分布

抛 10 次均匀硬币，正面次数 \(X\sim B(10,0.5)\)：

\[E(X)=10\times 0.5=5 \]

\[D(X)=10\times 0.5\times 0.5=2.5 \]

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九、初赛易错点

1. 排列有序，组合无序，先判断是否与顺序有关。
2. 是否允许重复：
   可重复排列 \(n^m\)，不可重复排列 \(A(n,m)\)。
3. “至少”问题常用补集：
   至少一个 = 总数 - 一个都没有。
4. 隔板法要区分正整数解和非负整数解。
5. 条件概率 \(P(A|B)\) 与 \(P(B|A)\) 不同。
6. 互斥与独立不同，不要混淆。
7. 期望线性永远成立，但 \(E(XY)=E(X)E(Y)\) 需要独立。
8. \(0!=1\)，\(C(n,0)=1\)。
9. 二项式系数与项的系数不同。
10. 卡特兰数分母是 \(n+1\)，不是 \(n\)。
11. 圆排列是 \((n-1)!\)，不是 \(n!\)。
12. 错排递推：

\[D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2)) \]

不要记成别的形式。

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十、公式速查表

名称	公式
全排列	\(n!\)
选排列	\(A(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!}\)
组合数	\(C(n,m)=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)
可重复排列	\(n^m\)
可重复组合	\(C(n+m-1,m)\)
圆排列	\((n-1)!\)
多重集排列	\(\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!}\)
错排	\(D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))\)
卡特兰数	\(Cat(n)=\frac{C(2n,n)}{n+1}\)
二项式定理	\((a+b)n=\sum_{k=0}n C(n,k)a{n-k}bk\)
组合和	\(\sum_{i=0}^n C(n,i)=2^n\)
古典概型	\(P(A)=\frac{
条件概率	\(P(A
期望	\(E(X)=\sum x_ip_i\)
方差	\(D(X)=E(X2)-[E(X)]2\)
二项分布	\(E=np,\ D=np(1-p)\)
几何分布	\(E=\frac{1}{p},\ D=\frac{1-p}{p^2}\)

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十一、速记口诀

• 有序排列，无序组合。
• 分类加法，分步乘法。
• 至少用补集，相邻用捆绑，不邻用插空。
• 错排：\(D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))\)。
• 卡特兰：\(C(2n,n)/(n+1)\)。
• 期望线性无条件，乘积期望要独立。
• 二项分布 \(E=np\)，\(D=np(1-p)\)。
• 互斥不是独立，独立不是互斥。