KMP

前缀函数

\(\pi_i,\pi_{\pi_i},\pi_{\pi_{\pi_i}},\pi_{\pi_{\pi_{\pi_i}}},\pi_{\pi_{\pi_{\pi_{\pi_i}}}},\pi_{\pi_{\pi_{\pi_{\pi_{\pi_i}}}}},\dots\)

一个字符串中一个最长的真前缀，并要求其和一个后缀相同。

1. 暴力
直接暴力求：

for(int i=2;i<=n;i++){
	for(int j=i-1;j>=0;j--){
		if(sub(s,1,j)==sub(s,i-j+1,i)){
			p[i]=j;
			break;
		}
	}
}

2. 优化
首先发现 \(\pi\) 数组每次之多增长 1，所以只需要从 \(\pi_{i-1}+1\) 开始枚举。

for(int i=2;i<=n;i++){
	for(int j=p[i-1]+1;j>=0;j--){
		if(sub(s,1,j)==sub(s,i-j+1,i)){
			p[i]=j;
			break;
		}
	}
}

这样的时间复杂度是 \(O(N^2)\)，因为每次只增长 1，至多到 \(n-1\)，减少的下限又是 0，所以层是 \(O(N)\) 的，内层 sub 是 \(O(N)\)，总：\(O(N^2)\)
3. 正解
可以将 \([1,\pi_i]\) 拆成 \([1,\pi_i-1]+s_i\)，所以 \([1,\pi_i-1]\) 一定是 \([1,i-1]\) 的后缀。
所以最开始找到 \(\pi_{i-1}\)，若 \(s_{\pi_{i-1}+1}\not=s_i\)，那么就需要 \(\pi_{\pi_{i-1}}\) 来判断，以此类推。

for(int i=2;i<=n;i++){
	int j=p[i-1];
	while(j&&s[j+1]!=s[i])j=p[j];
	if(s[j+1]==s[i])j++;
	p[i]=j;
}

字符串匹配

找到模式串 \(s\) 在文本串 \(t\) 中出现的所有位置。

法一

一个字符串，存：模式串 \(+'\#'+\) 文本串。

\(\#\) 的作用是防止匹配时长度超出模式串长度。

然后对字符串求前缀函数，当我们发现 \(\pi_i=|模式串|\) 时，说明找到了文本串中与模式串匹配的子串。

法二

题解都是这么写的。

不合并模式串和文本串，直接比较。

两个指针 \(i\) 和 \(j\)，\(i\) 在文本串中，\(j\) 在模式串中。

若 \(s_{j+1}\not=t_i\)，此时匹配不上了。但是前面匹配了这么多不能白匹配了，所以将 \(j\) 转移到 \(\pi_j\) 的位置继续匹配。因为 \(\pi_j\) 时前缀函数，所以 \([1,\pi_j]\) 还是能和文本串匹配上的。

总结

关于从 \(\pi_i\) 到 \(\pi_{\pi_i}\) 的过程中还是比较绕的，要理清楚。

然后就是解决问题的时候要依据 \(\pi\) 的定义以及性质，比如周期和压缩的问题。