总结 2026.3.21

排列组合：link
矩阵：link

计数类 DP

按数值 DP

即考虑每个数真实的值。

题目 1
一个长度为 \(n\) 的序列，要求第 \(i\) 个数在 \(L_i\sim R_i\) 范围内，且序列不降。

这时候记录数值的好处就体现出来了。

\(dp_{i,j}\)：第 \(i\) 个数值为 \(j\) 的方案数。

\[dp_{i,j}=\sum_{k=L_{i-1}}^{k\le j,h\le R_{i-1}}dp_{i-1,k} \]

题目 2
一个长度为 \(n\) 的序列，要求第 \(i\) 个数在 \(L_i\sim R_i\) 范围内，且相邻元素之差不超过 \(K\)。

考虑状压。

状压哪些数被用过了，而被用过数的总数就是当前填的位置。

还需要记录上一个用的是哪个数，相差过大就不行。

按排名 DP

考虑值的好处是什么？就是你可以直观地得到当前的值。

比如：要求当前值与上一个值相差不大于 \(K\)，此时维护值就有用。

题目 1
定义前缀最大值为大于其前面所有元素的元素，求 \(n\) 的排列中前缀最大值数量为 \(k\) 的数量。

考虑用 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个位置，有 \(j\) 个前缀最大值。

如何转移？

前 \(i\) 个数自然会产生排名 \(1\sim i\)，若当前填入的数排名为 1，则会成为前缀最大值，否则不会。

\[dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}+dp_{i-1,j}\times(j-1) \]

题目 2
给定一个字符串 \(s\)，包含 > 和 <，若 \(s_i\) 为 小于，则 \(a_i<a_{i+1}\)，否则反之。求有多少种满足条件的 \(n\) 的排列 \(a\)。

用 \(dp_{i,j}\) 表示第 \(i\) 个数填的是前 \(i\) 个数中排名为 \(j\) 的数。

1. <
   若当前数排名为 \(j\)，且需要前面的数小于他，则前面的数的排名只能是 \(1\sim j-1\)。

\[dp_{i,j}=\sum_{k=1}^{j}dp_{i-1,k} \]

2. >
   若当前数排名为 \(j\)，且前面的数要大于他，则前面数排名可以是前 \(i-1\) 个数中的 \(j\sim i-1\)。为什么可以取 \(j\)？若第 \(i\) 个数小于前面的第 \(j\) 个数，则在前 \(i\) 个数中，前面那个数的排名会变成 \(j+1\)，还是大于当前数。

\[dp_{i,j}=\sum_{k=j}^{i-1}dp_{i-1,k} \]

为什么这里不能用具体值来做？因为具体的值可能会出现重复！而题目要求的是排列！
所以用值 DP 的缺陷就暴露出来了。
用排名 DP 更加灵活，加入一个数之后只需变一下前面的排名，不用考虑重复的问题。