CF312B Archer

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分析

首先分析样例。
小 R 第一箭就射中的概率是$\frac{1}{2}$，但是他也有$\frac{1}{2}$的概率射不中，这个时候他就只能祈祷另一个人射不中，此时的概率就是$\frac{1}{2}\times (1-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$，接着又轮到小 R，他需要射中才能赢，所以这次他获胜的概率是$\frac{1}{2}\ast \frac{1}{4}=\frac{1}{8}$，以此类推。
推导：
每次小 R，射完一次箭，有$\frac{a}{b}$的概率赢，但是他有$\frac{b-a}{b}$的概率射不中，此时要获胜需要对方$\frac{d+c}{d}$的概率也射不中，在轮到小 R，以$\frac{a}{b}$的概率来射。
令$X=\frac{b-a}{b}\times \frac{d+c}{d}$，小 R 获胜的概率为：
$$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}\cdot X+\frac{a}{b}\cdot X^2+\frac{a}{b}\cdot X^3+\dots$$
可以发现这是一个等比数列。
设原式为 $S$，因为 $x<0$，所以$x^{\infty }\approx 0$，那么$S\approx \frac{a}{b}$。
$$S\cdot X=\frac{a}{b}\cdot X+\frac{a}{b}\cdot X^2+\frac{a}{b}\cdot X^3+\dots$$
用 $S$ 减去 $S\cdot X$得到 $S\cdot (1-X)=\frac{a}{b}-X^{\infty }\approx \frac{a}{b}$，那么：
$$S=\frac{S\cdot (1-X)}{1-X}=\frac{\frac{a}{b}}{1-X}$$
所以，最后的答案就是：
$$\frac{\frac{a}{b}}{1-\frac{b-a}{b}\times \frac{d+c}{d}}$$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
signed main(){
	double a,b;
	scanf("%lf%lf",&a,&b);
	double x=a/b;
	double nox=1-x;
	scanf("%lf%lf",&a,&b);
	double y=a/b;
	double noy=1-y;
	double ans=x/(1-nox*noy);
	printf("%.13lf",ans);
}