二叉树的整合

树

树有 $n$ 个节点，并且只有 $n-1$ 条边连接所有的点，保证所有点联通，也就是没有环。
比如：

整理后可以得到上图这样一个形状。
然后标上层数。

对于点 $x$ 来说层数小于点 $x$ 并且有边与之相连的点只会有一个，这个点被称为点 $x$ 的父亲节点，而点 $x$ 成为这个点的子节点。
没有子节点的点称为叶子结点。
没有父亲节点的点称为树的根节点。

二叉树定义及概念

首先它是一棵树，并且对于每一个点，它最多只有两个子节点。
比如：

然后有几个概念。
满二叉树
一颗二叉树，除了叶子结点外，其他的点都有两个子节点，并且叶子结点都在同一层。
就像这样：

性质：

1. 一颗 $n$ 层的满二叉树一共有 $2^n-1$ 个节点。
2. 一颗满二叉树的第 $i$ 层有 $2^{i-1}$ 个节点。
3. 一颗有 $n$ 个节点的满二叉树的深度为 ${\log }_2(n+1)$

完全二叉树
可以理解为一颗满二叉树，从最右边的叶子结点开始，依次删去叶子结点。

二叉树的遍历

所有的遍历都从根节点开始。
下面有一棵树：

先序遍历
按照 根 $-$ 左 $-$ 右的顺序遍历整棵树。（根指当前点，左指当前点的左子节点，右指当前点的右子节点）
上面树的先序遍历是：$1-2-4-6-3-5-7-8$。
先序遍历中，根节点是第一个元素。
中序遍历
按照 左 $-$ 根 $-$ 右的顺序遍历整棵树。
上面树的中序遍历是：$6-4-2-1-7-5-8-3$。
中序遍历中，一个点的左子树上所有的点在其左，右子树上点在其右。
后序遍历
按照 根 $-$ 左 $-$ 右的顺序遍历整棵树。
上面树的后序遍历是：$6-4-2-7-8-5-3-1$。
后序遍历中，根节点是最后一个元素。

实现

存储
可以考虑用一个结构体来存。

struct node{
	int l,r;
}tree[N];

如果有值：

struct node{
	int x,l,r;
}tree[N];

找根
生面说过，没爹的就是根节点，所以只用找到没有父节点的点就行了，一棵树中保证只有一个根节点。
遍历

void first(int x){
	if(x){
		print(x),psp;
		first(f[x].l);
		first(f[x].r);
	}
}
void mid(int x){
	if(x){
		mid(f[x].l);
		print(x),psp;
		mid(f[x].r);
	}
}
void last(int x){
	if(x){
		last(f[x].l);
		last(f[x].r);
		print(x),psp;
	}
}

例题

题目描述
输入一棵二叉树的先序和中序遍历，输出其后序遍历序列。
输入格式
共两行，第1行一个字符串，表示树的先序遍历，第二行一个字符串，表示树的中序遍历。树的节点一律用小写字母表示。
输出格式
仅一行，表示树的后序遍历。

需要根据上面遍历的各自性质来求。
因为先序遍历中，第一个一定是根节点，以此类推，在先序遍历中越靠前的，就是越上层的点，越靠近根。

在后序遍历中，根节点是最后输出的。

按照先序遍历，遍历完根节点第二个点就是根节点左子树的根。那么这个点就是倒数第二个输出的……以此类推。

我们考虑每次在先序遍历中往后找一个点，然后在中序遍历中找到这个点的左右子树，然后重复这个操作。

#include<bits/stdc++.h>
#define endl putchar('\n')
#define psp putchar(' ')
using namespace std;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();};
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n,m,k;
int T;
int len;
string first,mid;
void dfs(int l,int r){
	bool flag=0;
	for(int i=0;i<len;i++){
		for(int j=l;j<=r;j++){
			if(mid[j]==first[i]){
				dfs(l,j-1);//遍历左子树
				dfs(j+1,r);//遍历右子树
				cout<<mid[j];//后序遍历越靠前的点越后面输出。
				flag=1;//找到就溜
				break;
			}
		}
		if(flag)break;
	}
}
signed main(){
	cin>>first>>mid;
	len=mid.size();
	dfs(0,len-1);
}

其他

二叉树还有另一个用处。
比如我们有一颗这样的树。

我们对他进行中序遍历，就可以得到一个算式。
$$1+5-2+6\ast 2\ast (1+1)$$
在对他进行先序遍历，就可以得到上面算式的前缀表达式：
$$+-+152\times \times 62+11$$
同样的，对他进行后序遍历就可以得到上面算是的后缀表达式：
$$15+2-62\times 11+\times +$$