CF1765C 题解

题意

传送门

有 \(4\) 种花色的牌，每种牌均为 \(n\) 张，则牌的排列一共有 \((4n)!\) 种。

现在你从牌堆种逐张地取出牌，取牌之前你会猜一下这张牌是什么花色。你会根据之前的 \(k\) 张牌中出现最少的花色来猜这张牌。

如果有多种花色都是最少的，你随机猜一种。如果之前抽出的牌不足 \(k\) 张，就按之前的所有牌中的最少花色来猜。

问你猜对的期望次数是多少？

\(1\le n\le 500,1\le k\le 4n\)。

题解

每个位置猜什么，只和其之前 \(k\) 个位置中 \(4\) 种花色牌的数量有关。于是利用期望的线性性隔离考虑。这一步的目的是将复杂度从指数级别转为多项式级别。则接下来只需求每个位置猜对的概率。

对某个位置，设前面 \(k\) 个（或不足 \(k\) 个）位置中 \(4\) 种花色牌的数量分别为 \(c_1,c_2,c_3,c_4\)，和为 \(c\)，最小值为 \(mn\)。如果最小值唯一，不难得到概率为

\[\dfrac{\dbinom{c}{c_1,c_2,c_3,c_4}\dbinom{4n-c}{n-c_1,n-c_2,n-c_3,n-c_4}\times\dfrac{\binom{4n-c-1}{n-mn-1}}{\binom{4n-c}{n-mn}}}{\dbinom{4n}{n,n,n,n}} \]

根据组合意义容易证明。

实际上，如果最小值不唯一，结果仍为上式。设上式为 \(v\)，则所有出现次数为最小值的花色的概率都为 \(v\)。如果有 \(s\) 个同为最小值，则总概率为 \(s\times\frac{v}{s}=v\)。

将其拆开，得到

\[\dfrac{c!(4n-c-1)!(n-mn)!}{c_1!c_2!c_3!c_4!(n-c_1)!(n-c_2)!(n-c_3)!(n-c_4)!(n-mn-1)!} \]

背包即可。复杂度 \(O(n^3)\)。