CF1588F 题解

题意

传送门

你有个长度为 \(n\) 的数组 \(a\) 和一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\)，对于每一个 \(i\) 有一有向边 \((i,p_i)\)。

有如下三种操作：

• 1 l r 询问 \(\sum_{i=l}^r a_i\)。

• 2 v x 将所有 \(v\) 能到达的节点所对应编号的值加 \(x\)。

• 3 x y 交换 \(p_x\) 与 \(p_y\)。

对于每一 \(1\) 操作输出结果。

\(1\le n,q\le 2\times10^5\)。

题解

发现操作 \(3\) 难以处理。先考虑没有 \(3\) 的情况。容易得出一个 \(O(n\sqrt n)\) 的算法：将操作分为 \(\sqrt n\) 块，对于每个操作 \(2\) 给对应环打上标记，对于操作 \(1\) 分为两部分算：同一块内的，考虑所有有标记的环，统计环上有几个点 \(\in[l,r]\)，乘上标记；不同块的，在每块结束时 \(O(n)\) 统计一下即可。

再看有 \(3\) 的情况。此时环会合并或分裂。但当环的变化次数比较少时，环上很大一部分也是可以使用标记的。将所有 \(3\) 操作的 \(x,y\) 称为关键点，则关键点可以将所有环（参与合并或分裂的环）分为 \(O(\sqrt n)\) 条链。于是给链打标记，用类似上面的方法做。

分析一下复杂度。操作 \(2\) 的复杂度为 \(O(\sqrt n)\)，操作 \(3\) 为 \(O(1)\)，操作 \(1\) 为 \(O(\sqrt n\log n)\)。瓶颈在于二分。先将 \([l,r]\) 分为 \([1,l)\) 与 \([1,r]\)，因为一条链上 \([1,r]\) 的个数不会随标记改变，于是可以预处理。这样就规避了二分。复杂度 \(O(n\sqrt n)\)。