LG4707 题解

题意

传送门

有 \(n\) 种材料，每单位时间随机出现一种，第 \(i\) 种出现的概率为 \(\frac{p_i}{m}\)。问收集到任意 \(k\) 种材料的期望时间，对 \(998244353\) 取模。

\(1\le n\le 10^3,|n-k|\le10,\sum p=m,1\le m\le10^4\)。

题解

学了个新知识：拓展 Min-Max 容斥。如下：

\[\max_k(S)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T) \]

其中 \(\max\limits_k(S)\) 表示 \(S\) 中第 \(k\) 大的值。这个式子与 Min-Max 容斥的区别在于容斥系数。我们来证明一下。

因为系数只与 \(|T|\) 有关，所以设 \(f_i\) 为 \(|T|=i\) 时的系数。对于 \(S\) 中第 \(i\) 大的值，会被算 \(\sum\limits_{j=1}^{i-1}\binom{i-1}{j}f_{j+1}\) 次。则 \(\sum\limits_{j=1}^{i-1}\binom{i-1}{j}f_{j+1}=[i=k]\)。二项式反演后所有 \(f_i\) 都仅剩一项，即得 \(f_i=(-1)^{i-k}\binom{i-1}{k-1}\)。于是得证。

然后就是一个简单的 \(\text{DP}\)。不多说。