ZR2495 题解

题意

给定 \(n\) 和正整数序列 \(a_1,a_2,\dots,a_n\)。有 \(q\) 次询问，每次给定 \(l,r\)，求

\[\left(\sum_{l\le i<j\le r}\gcd(a_i,a_j)\right)\bmod 2^{32} \]

\(1\le n,q\le 2.5\times10^5,1\le a_i\le n\)。

题解

很强的一题，然而初三的巨佬 \(4\texttt{h}\) 场切了……我订正都不止这个时间……太弱小了，没有力量！

此题有一档很大的部分分为 \(a_i\) 随机。正解从这里下手。

首先将 \(\gcd(x,y)\) 化为 \(\sum\limits_{d|x,y}\varphi(d)\)。那么容易用莫队做到 \(O(n\sqrt q d)\)，其中 \(d\) 为约数个数的期望，随机时为 \(\log n\)。

\(\log\) 是瓶颈，于是考虑二次离线。对于每个前缀，有 \(f_i=cnt_i\varphi(i)\)，其中 \(cnt_i\) 表示前缀中是 \(i\) 的倍数的数的数量。所求 \(g_x=\sum\limits_{d|x}f_x\)。考虑动态维护 \(g\)，查询便是 \(O(1)\)。

算一下复杂度。对于每个 \(d\)，其倍数出现次数的期望为 \(\frac{n}{d}\)，则计算次数为 \(\frac{n^2}{d^2}\)。\(d\) 很小时复杂度很大，于是根号分治，对于 \(d\le\sqrt n\)，可以暴力算贡献；对于 \(d>\sqrt n\)，采用上述方法。\(\sum\limits_{i=\sqrt n}^n \frac{n^2}{i^2}=n\sqrt n\)，于是总复杂度为 \(O(n\sqrt n)\)。

接下来考虑 \(a_i\) 不随机的情况。用类似上面的方法，设 \(d\) 的倍数的出现次数为 \(c_d\)，要算 \(\frac{c_d}{d}n\) 次。于是我们考虑将 \(\frac{c_d}{d}\) 最大的 \(T\) 个 \(d\) 拿出来暴力算贡献，剩下部分二次离线。复杂度不太会算，但经过尝试，\(T\) 取 \(800\) 时，复杂度为 \(O(\text{可过})\)。

另外，此题可以训练卡常技巧与耐心。