SOJ1694 题解

题意

给定一张有 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图，有 \(q\) 次询问，每次询问删掉第 \([l,r]\) 条边后剩下的图是否存在奇环。

\(1 \le n,m,q \le 2 \times 10^5\)

题解

今天考试遇到的整体二分好题。其实也是一个经典板子，我不会做可能是因为太菜了QAQ

有一个显然的想法是：对于每个 \(l\)，求出最小的 \(r\) 使得删掉 \([l,r]\) 后不存在奇环。将这个数组记为 \(res\)。则删掉 \([l,r]\) 后存在奇环当且仅当 \(r \ge res[l]\)。

注意到 \(res\) 是单增的。于是尝试使用双指针优化。但常见的奇环的判定方式是并查集，不支持动态维护连通性，故使用整体二分。（ \(\operatorname{LCT}\) 支持，那么或许可以用其代替并查集实现双指针？没试过）

为了能“继承”并查集的信息以达到优化时间复杂度的目的，我们将状态设计为：\(solve(l,r,L,R)\) 表示当前考虑 \([l,r]\)，其答案均在 \([L,R]\) 内，且此时 \([1,l-1] \cup [R+1,m]\) 已加入并查集。

我们先求出 \(l,r\) 中点 \(m\) 的答案 \(p\)，这个不难。由于单调性，\([l,m-1] \in [L,p]\)，\([m+1,r] \in [p,R]\)。于是就可以递归往下做了。

由于上述操作的复杂度为 \(O((r-l)\log n)\)（这里不妨设 \(R-L\) 与 \(r-l\) 同阶，原因之后讲），故总复杂度 \(O(n \log^2 n)\)。

为何同阶：因为递归的深度由 \(l,r\) 决定，而 \(m\) 是一定取在中点的，故深度为 \(O(\log n)\)。同一深度下所有 \(R-L\) 和为 \(n\)，故均摊可得同阶。