CF1408G 题解

题意

传送门

给定 \(n\) 个点的带权无向完全图，点 \(i, j\) 之间的权值为 \(a_{i, j}\)，权值是一个 \(1 \sim \frac{n(n-1)}{2}\) 的排列。

计数把原图划分成 \(k\) 个组的方案数，满足：

对于任意的 \((s, f), (x, y)\)，其中 \(s, f, x\) 同组，\(y\) 与 \(x\) 不同组 （\(s \ne f, x \ne y\)），\(a_{s, f} < a_{x, y}\)，即（对于每个组）组间边大于组内边。

输出一行 \(n\) 个数，对于 \(k \in [1, n]\) 求出答案，对 \(998244353\) 取模。

\(1 \le n \le 1500\)。

题解

要求组间边大于组内边，显然可以隔离每组，单独考虑性质。

不难发现一个连通块可以成为“组”的充要条件：若从小到大加入边，其成为团前，不与外界接触。

这个过程可以用 \(\operatorname{kruskal}\) 重构树实现。于是我们得到了可以成为“组”的所有连通块，个数当然是 \(O(n)\) 的。

答案要求将原图划分成 \(k\) 组，每组都可行的方案数。考虑重构树的特点，连通块与节点是一一对应的。选一个点就是选其对应的连通块。“划分”则等于没有叶子结点与根相连。

于是直接在重构树上做树形 \(\operatorname{dp}\) （树上背包？）即可。复杂度 \((n^2)\)。