CF1515G 题解

题意

传送门

给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，有边权，进行 \(q\) 次询问。

每次询问给定三个参数 \(v,s,t\)，你需要回答是否存在一条起点终点均为 \(v\) 的路径，满足 \(\text{路径长}+s\equiv 0\pmod t\)。

\(n,m,q \le 2 \times 10^5,0 \le s < t \le 10^9\)。

题解

石锤了，我既不会图论也不会数论……

首先每个强连通分量可以隔离。接着可以通过强连通发掘一些性质。

• 若 \((x,y,z)\)，一定有 \((y,x,-z)\)。在模任意数下都成立。

因为强连通，\(x,y\) 一定可以在同一个环上。从 \(y\) 开始，走 \(t\) 圈，此时为 \(0\)。最后一步不走，就是 \(-z\)。

进而得出下面的性质：

• 同一个强连通分量中答案都一样。
• 任意一个环都可以通过简单环的加减运算得到。

设所有简单环长为 \(l_1,l_2,...,l_k\)，那么由裴蜀定理，可以得到所有 \(gcd(l_1,l_2,...,l_k)\) 倍数的长度。于是只需求所有简单环，就可以 \(O(1)\) 查询。

寻找简单环，不难想到 \(\operatorname{dfs}\) 树。这又分为只有一条非树边和有多条非树边的简单环。又发现，第二种一定可以由第一种加减而成。于是就解决了。